Calcule os seguintes limites abaixo
Passo 1
Vamos resolver o limite
.
Conteúdo: Este exercício envolve o cálculo de limites em matemática, especificamente utilizando propriedades de funções trigonométricas e limites fundamentais.
O que precisamos: Entender o comportamento da função
próximo a zero e utilizar aproximações de séries de Taylor para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as expressões individuais no limite:
À medida que
se aproxima de 0,
tende a 0, então
tende ao infinito. Por outro lado,
também tende a 0, então
tende ao infinito. Precisamos entender qual das duas expressões cresce mais rapidamente.
Passo 3
Para comparar essas expressões, usamos a aproximação da função seno para valores pequenos de
. Sabemos que, próximo a 0:
Isso significa que podemos expressar
em termos de
e um termo de ordem maior.
Passo 4
Substituímos a aproximação de
na expressão original:
Simplificamos a segunda fração:
Passo 5
Usando a expansão de uma série geométrica para
quando
é pequeno, temos:
Portanto:
Passo 6
Voltando à expressão original:
Agora, colocamos tudo sobre um denominador comum:
Passo 7
Analisando o numerador
para
:
Portanto, temos:
Isso confirma que a aproximação está correta e que o comportamento dominante é
.
Resposta
O limite
tende para
.