Calcule os seguintes limites abaixo lim x 0^+(1x^2-1sin x)

Passo 1

Vamos resolver o limite .
Conteúdo: Este exercício envolve o cálculo de limites em matemática, especificamente utilizando propriedades de funções trigonométricas e limites fundamentais.
O que precisamos: Entender o comportamento da função próximo a zero e utilizar aproximações de séries de Taylor para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as expressões individuais no limite:
1x^2 e 1sin x
À medida que se aproxima de 0, tende a 0, então tende ao infinito. Por outro lado, também tende a 0, então tende ao infinito. Precisamos entender qual das duas expressões cresce mais rapidamente.

Passo 3

Para comparar essas expressões, usamos a aproximação da função seno para valores pequenos de sin x approx x - x^36 . Sabemos que, próximo a 0:
Isso significa que podemos expressar em termos de e um termo de ordem maior.

Passo 4

Substituímos a aproximação de 1x^2 - 1sin x approx 1x^2 - 1x - x^36 na expressão original:
1x - x^36 = 1x(1 - x^26) = 1x cdot 11 - x^26
Simplificamos a segunda fração:

Passo 5

Usando a expansão de uma série geométrica para 11 - x^26 approx 1 + x^26 quando 1sin x approx 1x (1 + x^26) = 1x + x6 é pequeno, temos:
Portanto:

Passo 6

Voltando à expressão original:
1x^2 - (1x + x6) = 1x^2 - 1x - x6
Agora, colocamos tudo sobre um denominador comum:
= 1 - x - x^36x^2

Passo 7

Analisando o numerador 1 - x - x^36 approx 1 - x para 1 - xx^2 = 1x^2 - 1x :
Portanto, temos:
Isso confirma que a aproximação está correta e que o comportamento dominante é .

Resposta

O limite tende para .

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