Deseja-se construir um recipiente cilíndrico(sem tampa) de V litros de capacidade. Quais as dimensões do recipiente que requerem o mínimo de material?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer construir um recipiente cilíndrico sem tampa que tenha uma capacidade de litros. O objetivo é descobrir quais são as dimensões (raio e altura) desse cilindro que vão usar a quantidade mínima de material possível. Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e cálculo, especialmente conceitos de otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • : raio da base do cilindro.
  • : altura do cilindro.
A capacidade do cilindro, ou volume, é dada pela fórmula:
Como queremos minimizar a quantidade de material usado, precisamos minimizar a área superficial do cilindro. Como o cilindro não tem tampa, a área superficial é composta pela área da base e pela área lateral:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é minimizar com a restrição de que o volume seja fixo. Para isso, vamos resolver a equação do volume para uma das variáveis e substituir na equação da área superficial.
Vamos resolver para :

Passo 4

Substituindo na fórmula da área:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar o mínimo de , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 2:
Então:

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar usando a equação do volume:
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

As dimensões que minimizam o material utilizado são:
  • Raio:
  • Altura:

Exercícios relacionados

Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:
Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:
Calcule os seguintes limites abaixo
Calcule os seguintes limites abaixo