Deseja-se construir um recipiente cilíndrico(sem tampa) de V litros de capacidade. Quais as dimensões do recipiente que requerem o mínimo de material?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer construir um recipiente cilíndrico sem tampa que tenha uma capacidade de
litros. O objetivo é descobrir quais são as dimensões (raio e altura) desse cilindro que vão usar a quantidade mínima de material possível. Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e cálculo, especialmente conceitos de otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
: raio da base do cilindro. -
: altura do cilindro.
A capacidade do cilindro, ou volume, é dada pela fórmula:
Como queremos minimizar a quantidade de material usado, precisamos minimizar a área superficial do cilindro. Como o cilindro não tem tampa, a área superficial
é composta pela área da base e pela área lateral:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é minimizar
com a restrição de que o volume
seja fixo. Para isso, vamos resolver a equação do volume para uma das variáveis e substituir na equação da área superficial.
Vamos resolver para
:
Passo 4
Substituindo
na fórmula da área:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar o mínimo de
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 2:
Então:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a equação do volume:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
As dimensões que minimizam o material utilizado são:
- Raio:
- Altura:
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