Calcule os seguintes limites abaixo lim x 0^+ x ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os limites envolvendo funções logarítmicas e manipular um pouquinho de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão conforme se aproxima de 0 pela direita:
  • está indo para 0.
  • está indo para porque o logaritmo de números muito próximos de 0 é um número bem negativo.
Então, temos uma forma do tipo , que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão para aplicar a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos indeterminações.

Passo 3

Vamos reescrever o limite da seguinte maneira:
lim x 0^+ x ln x = lim x 0^+ ln x1x
Agora, a expressão está no formato , que ainda é uma indeterminação. Aqui entra a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de lim x 0^+ 1x-1x^2 = lim x 0^+ -x = 0 em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, o limite fica:

Resposta

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