Encontre todas as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das curvas a seguir, justificando seu cálculo com o respectivo limite.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todas as assíntotas horizontais e verticais da curva definida por
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções racionais e limites, que são conceitos chave para identificar essas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde o denominador da função é igual a zero, mas o numerador não é. Isso porque nesses pontos a função tende ao infinito.
Então, vamos resolver a equação
para encontrar onde o denominador é zero.
Podemos fatorar essa equação:
Assim, as soluções são
e
. Agora, precisamos verificar se esses valores também fazem o numerador ser zero.
Para
:
Para
:
Como o numerador não é zero nessas soluções, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas indicam o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo.
Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus do polinômio no numerador e no denominador:
- Se o grau do numerador for menor que o do denominador, a assíntota é
. - Se os graus forem iguais, a assíntota é a razão dos coeficientes líderes.
- Se o grau do numerador for maior, não há assíntota horizontal (pode haver uma oblíqua).
No nosso caso, tanto o numerador
quanto o denominador
são de grau 2. Então, usamos a segunda regra.
A razão dos coeficientes líderes é
. Portanto, a assíntota horizontal é
.
Resposta
A função
possui assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
.
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(a)
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(a)
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(g)
(g)