Encontre todas as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das curvas a seguir, justificando seu cálculo com o respectivo limite.
(a) y = (2*x^2 + x - 1) / (x^2 + x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todas as assíntotas horizontais e verticais da curva definida por . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções racionais e limites, que são conceitos chave para identificar essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde o denominador da função é igual a zero, mas o numerador não é. Isso porque nesses pontos a função tende ao infinito.
Então, vamos resolver a equação para encontrar onde o denominador é zero.
Podemos fatorar essa equação:
Assim, as soluções são e . Agora, precisamos verificar se esses valores também fazem o numerador ser zero.
Para :
Para :
Como o numerador não é zero nessas soluções, temos assíntotas verticais em e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas indicam o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo.
Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus do polinômio no numerador e no denominador:
  • Se o grau do numerador for menor que o do denominador, a assíntota é .
  • Se os graus forem iguais, a assíntota é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador for maior, não há assíntota horizontal (pode haver uma oblíqua).
No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador são de grau 2. Então, usamos a segunda regra.
A razão dos coeficientes líderes é . Portanto, a assíntota horizontal é .

Resposta

A função possui assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em .

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