CALCULE OS SEGUINTES LIMITES, (ASO EXISTAM:
lim (x, y) (0,0) y^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(y^2+x^2)^2

Passo 1

Então, temos aqui um exercício de Cálculo que pede para calcular um limite envolvendo duas variáveis, lim (x, y) (0,0) y^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(y^2+x^2)^2 e . A questão nos dá a função:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis, e possivelmente transformar a função para coordenadas polares para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . Isso quer dizer que queremos ver para qual valor a função se aproxima à medida que nos movemos para o ponto de qualquer direção.

Passo 3

Uma estratégia comum para resolver limites de funções de duas variáveis é usar coordenadas polares. Isso porque, ao converter para essas coordenadas, podemos analisar o comportamento da função em termos de um único parâmetro, o raio x = r cos theta y = r sin theta , que representa a distância até a origem.
Vamos fazer a substituição:

Passo 4

Substituindo y^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(y^2+x^2)^2 = (r sin theta)^4 + 3 (r cos theta)^2 (r sin theta)^2 + 2 (r sin theta) (r cos theta)^3(r^2 sin^2 theta + r^2 cos^2 theta)^2 e na função original:

Passo 5

Simplificando cada termo:
= r^4 sin^4 theta + 3 r^4 cos^2 theta sin^2 theta + 2 r^4 sin theta cos^3 theta(r^2 (sin^2 theta + cos^2 theta))^2
Sabemos que = r^4 (sin^4 theta + 3 cos^2 theta sin^2 theta + 2 sin theta cos^3 theta)r^4 , então:

Passo 6

Cancelando = sin^4 theta + 3 cos^2 theta sin^2 theta + 2 sin theta cos^3 theta no numerador e denominador:

Passo 7

Agora, observamos que a expressão resultante não depende mais de sin 0 = 0, cos 0 = 1 sin^4 0 + 3 cos^2 0 sin^2 0 + 2 sin 0 cos^3 0 = 0 + 0 + 0 = 0 . Isso significa que o limite dependeria apenas de sin pi2 = 1, cos pi2 = 0 sin^4 pi2 + 3 cos^2 pi2 sin^2 pi2 + 2 sin pi2 cos^3 pi2 = 1 + 0 + 0 = 1 . Para o limite existir, a expressão deve ter o mesmo valor para qualquer .
Vamos testar alguns valores de :
  • Se :
  • Se :

Passo 8

Como o limite resulta em valores diferentes dependendo de (0 e 1 nos exemplos), isso significa que o limite não existe de forma geral quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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