CALCULE OS SEGUINTES LIMITES, (ASO EXISTAM:
Passo 1
Então, temos aqui um exercício de Cálculo que pede para calcular um limite envolvendo duas variáveis,
e
. A questão nos dá a função:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis, e possivelmente transformar a função para coordenadas polares para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. Isso quer dizer que queremos ver para qual valor a função se aproxima à medida que nos movemos para o ponto
de qualquer direção.
Passo 3
Uma estratégia comum para resolver limites de funções de duas variáveis é usar coordenadas polares. Isso porque, ao converter para essas coordenadas, podemos analisar o comportamento da função em termos de um único parâmetro, o raio
, que representa a distância até a origem.
Vamos fazer a substituição:
Passo 4
Substituindo
e
na função original:
Passo 5
Simplificando cada termo:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Cancelando
no numerador e denominador:
Passo 7
Agora, observamos que a expressão resultante não depende mais de
. Isso significa que o limite dependeria apenas de
. Para o limite existir, a expressão deve ter o mesmo valor para qualquer
.
Vamos testar alguns valores de
:
-
Se
: -
Se
:
Passo 8
Como o limite resulta em valores diferentes dependendo de
(0 e 1 nos exemplos), isso significa que o limite não existe de forma geral quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Resposta
O limite não existe.
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