CALCULE OS SEGUINTES LIMITES, (ASO EXISTAM:

Passo 1

Então, temos aqui um exercício de Cálculo que pede para calcular um limite envolvendo duas variáveis, e . A questão nos dá a função:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis, e possivelmente transformar a função para coordenadas polares para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . Isso quer dizer que queremos ver para qual valor a função se aproxima à medida que nos movemos para o ponto de qualquer direção.

Passo 3

Uma estratégia comum para resolver limites de funções de duas variáveis é usar coordenadas polares. Isso porque, ao converter para essas coordenadas, podemos analisar o comportamento da função em termos de um único parâmetro, o raio , que representa a distância até a origem.
Vamos fazer a substituição:

Passo 4

Substituindo e na função original:

Passo 5

Simplificando cada termo:
Sabemos que , então:

Passo 6

Cancelando no numerador e denominador:

Passo 7

Agora, observamos que a expressão resultante não depende mais de . Isso significa que o limite dependeria apenas de . Para o limite existir, a expressão deve ter o mesmo valor para qualquer .
Vamos testar alguns valores de :
  • Se :
  • Se :

Passo 8

Como o limite resulta em valores diferentes dependendo de (0 e 1 nos exemplos), isso significa que o limite não existe de forma geral quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
CALCULE OS SEGUINTES LIMITES, (ASO EXISTAM:
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