CALCULE OS SEGUINTES LIMITES, (ASO EXISTAM:
lim (x, y) (0,0)(1+x)^1+x yx

Passo 1

Então, a gente tem um limite aí que precisa calcular:
lim (x, y) (0,0)(1+x)^1+x yx
Vamos trabalhar com limites multivariáveis, que estuda como uma função se comporta quando mais de uma variável se aproxima de certos valores. Pra resolver, vamos precisar entender exponenciais e logaritmos, já que a expressão tem uma potência complicada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Lembra que (1 + x)^1 + x yx = e^1 + x yx cdot ln(1 + x) . Então, podemos reescrever nossa função assim:
Isso facilita porque agora temos a base , que é mais fácil de lidar em limites.

Passo 3

Agora, vamos analisar o expoente:
1 + x yx cdot ln(1 + x)
Sabemos que, para 1 + x yx cdot x = 1 + x y perto de 0, . Então, substituindo isso na expressão:
Porque cancela com o denominador.

Passo 4

Agora, nosso limite fica:
lim (x, y) (0,0) e^1 + x y
Como e estão indo para 0, o termo também vai para 0. Então, o expoente vai para 1.

Passo 5

Portanto, o limite facilita para:
e^1 + 0 = e^1 = e
Então, o valor do limite é a constante matemática .

Resposta

O limite é igual a .

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