Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de LCalcule o limite de lim x 0 sen^2(3 x)5 x^2

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve o conteúdo de limites e trigonometria. Para resolver, vamos utilizar a regra de L’Hospital, que é útil quando o limite está na forma indeterminada ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o limite está na forma indeterminada quando se aproxima de 0.
  • No numerador: , então .
  • No denominador: quando .
Como obtemos , podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital, precisamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
  • Seja e .
Vamos calcular e .

Passo 4

Calculando as derivadas:
  • Derivada do numerador f'(x) = 2 sin(3x) cdot cos(3x) cdot 3 = 6 sin(3x) cos(3x) :
    g'(x) = 10x
    (Usei a regra da cadeia aqui).
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Substituindo as derivadas no limite:
limx 0 6 sin(3x) cos(3x)10x
Podemos simplificar os coeficientes:
610 = 35
Então, o limite fica:
35 cdot limx 0 sin(3x)x cdot cos(3x)

Passo 6

Conhecendo limites básicos, sabemos que:
limx 0 sin(kx)x = k e limx 0 cos(kx) = 1
Aplicando isso:
35 cdot 3 cdot 1 = 95

Resposta

O limite é .

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