Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Calcule a derivada de f(x) = ln(sen(h x)) / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, mais especificamente utilizando a regra do quociente e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar logaritmos e funções hiperbólicas como o seno hiperbólico ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que serão derivadas. Temos uma função do tipo , onde:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:

Passo 3

Agora, vamos derivar e separadamente.
Primeiro, derivando :
Para derivar o logaritmo natural, usamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Aqui, . A derivada de é .
Então,
Agora, derivando :

Passo 4

Vamos substituir , , , e na fórmula da regra do quociente:
Isso simplifica para:

Resposta

A derivada da função é:

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Estude o sinal das seguintes expressões, indicando para quais valores de x em R são positivas, negativas, zero ou não definidas.
(2 x + 1)(x - 2)
integral3 1(x-2)^32 d x