Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de LCalcule o limite de
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
Para resolver esse limite, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, substituímos
por
para verificar se obtemos uma forma indeterminada:
- Numerador:
- Denominador:
Como temos
, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente. Vamos calcular as derivadas:
-
Numerador:
- Derivada:
- Derivada:
-
Denominador:
- Derivada:
- Derivada:
Agora, o limite fica:
Passo 4
Substituímos
por
novamente para verificar se ainda temos uma forma indeterminada:
- Numerador:
- Denominador:
Como ainda temos
, aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas novamente:
-
Numerador anterior:
- Derivada:
- Derivada:
-
Denominador anterior:
- Derivada:
- Derivada:
Agora, o limite fica:
Passo 6
Substituímos
por
mais uma vez:
- Numerador:
- Denominador:
Ainda temos
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas mais uma vez:
-
Numerador anterior:
- Derivada:
- Derivada:
-
Denominador anterior:
- Derivada:
- Derivada:
Agora, o limite fica:
Substituindo
:
Resposta
O limite é
.
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