Calcule os seguintes limites com o auxílio das regras de LCalcule o limite de lim x 0 tg(x)-xx^3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
limx 0 tan(x) - xx^3
Para resolver esse limite, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites que resultam em formas indeterminadas como 00 ou inftyinfty.

Passo 2

Primeiro, substituímos x por 0 para verificar se obtemos uma forma indeterminada:
  • Numerador: tan(0) - 0 = 0 - 0 = 0
  • Denominador: 0^3 = 0
Como temos 00, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente. Vamos calcular as derivadas:
  • Numerador: f(x) = tan(x) - x
    • Derivada: f'(x) = sec^2(x) - 1
  • Denominador: g(x) = x^3
    • Derivada: g'(x) = 3x^2
Agora, o limite fica:
limx 0 sec^2(x) - 13x^2

Passo 4

Substituímos x por 0 novamente para verificar se ainda temos uma forma indeterminada:
  • Numerador: sec^2(0) - 1 = 1 - 1 = 0
  • Denominador: 3 times 0^2 = 0
Como ainda temos 00, aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas novamente:
  • Numerador anterior: f'(x) = sec^2(x) - 1
    • Derivada: f''(x) = 2sec^2(x)tan(x)
  • Denominador anterior: g'(x) = 3x^2
    • Derivada: g''(x) = 6x
Agora, o limite fica:
limx 0 2sec^2(x)tan(x)6x = limx 0 sec^2(x)tan(x)3x

Passo 6

Substituímos x por 0 mais uma vez:
  • Numerador: sec^2(0)tan(0) = 1 times 0 = 0
  • Denominador: 3 times 0 = 0
Ainda temos 00, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas mais uma vez:
  • Numerador anterior: f''(x) = 2sec^2(x)tan(x)
    • Derivada: f'''(x) = 2(2sec^2(x)tan^2(x) + sec^4(x))
  • Denominador anterior: g''(x) = 6x
    • Derivada: g'''(x) = 6
Agora, o limite fica:
limx 0 2(2sec^2(x)tan^2(x) + sec^4(x))6
Substituindo x = 0:
2(2 times 1 times 0 + 1)6 = 2 times 16 = 26 = 13

Resposta

O limite é 13.

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