Encontrar a derivada de ordem
das funções:
Calcule a derivada de ordem
para
Calcule a derivada de ordem
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de ordem
da função
. Esse exercício está relacionado com o conteúdo de derivadas de funções potenciais e vamos precisar conhecer a regra da derivada para potências e como aplicar a derivada várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra básica para derivar uma função da forma
, onde
é uma constante e
é um expoente. A primeira derivada dessa função é dada por:
Isso significa que, ao derivar, multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em 1.
Passo 3
Agora, para encontrar a segunda derivada, derivamos novamente a expressão que obtemos na primeira derivada:
Perceba que cada derivação adicional multiplica pelos próximos termos decrescentes do expoente original.
Passo 4
Observando esse padrão, podemos generalizar a derivada de ordem
da função
. A fórmula geral para a
-ésima derivada é:
Essa expressão pode ser simplificada usando fatorial:
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso específico onde
, temos
e
. Substituindo esses valores na fórmula geral:
No entanto, como
é negativo, podemos reescrever a expressão usando potências negativas e fatorial:
Resposta
A derivada de ordem
da função
é:
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, onde
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e represente-o graficamente.
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