Encontrar a derivada de ordem n das funções:
Calcule a derivada de ordem n para y = (2 + x)^(-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de ordem da função . Esse exercício está relacionado com o conteúdo de derivadas de funções potenciais e vamos precisar conhecer a regra da derivada para potências e como aplicar a derivada várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra básica para derivar uma função da forma , onde é uma constante e é um expoente. A primeira derivada dessa função é dada por:
Isso significa que, ao derivar, multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em 1.

Passo 3

Agora, para encontrar a segunda derivada, derivamos novamente a expressão que obtemos na primeira derivada:
Perceba que cada derivação adicional multiplica pelos próximos termos decrescentes do expoente original.

Passo 4

Observando esse padrão, podemos generalizar a derivada de ordem da função . A fórmula geral para a -ésima derivada é:
Essa expressão pode ser simplificada usando fatorial:

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso específico onde , temos e . Substituindo esses valores na fórmula geral:
No entanto, como é negativo, podemos reescrever a expressão usando potências negativas e fatorial:

Resposta

A derivada de ordem da função é:

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