Calcule os seguintes limites:
(b) lim x 0 x^3 x.

Passo 1

Vamos entender a questão: precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Esse problema envolve conceitos de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever x^3x = e^3x ln x de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com limites. Podemos usar a definição de exponenciação com a base :
Isso nos permite focar no limite do expoente .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite do expoente:
limx 0 3x ln x
À medida que se aproxima de 0, tende a 0 e tende a . Isso resulta em uma forma indeterminada do tipo .

Passo 4

Para resolver essa indeterminação, podemos reescrever a expressão de forma a aplicar a Regra de L’Hôpital. Vamos reescrever 3x ln x = ln x13x como:
Agora, temos uma fração na qual o numerador tende a e o denominador tende a , formando a indeterminação .

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração que resulta em uma indeterminação, derivamos o numerador e o denominador:
limx 0 ln x13x = limx 0 ddx (ln x)ddx (13x) = limx 0 1x-13x^2 = limx 0 (-3x) = 0
Portanto, o limite do expoente é 0.

Passo 6

Retornando à expressão original, temos:
limx 0 x^3x = limx 0 e^3x ln x = e^0 = 1
Isso significa que o limite de quando tende a 0 é 1.

Resposta

O limite é .

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