Calcule os seguintes limites:
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos entender a questão: precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Esse problema envolve conceitos de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com limites. Podemos usar a definição de exponenciação com a base
:
Isso nos permite focar no limite do expoente
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite do expoente:
À medida que
se aproxima de 0,
tende a 0 e
tende a
. Isso resulta em uma forma indeterminada do tipo
.
Passo 4
Para resolver essa indeterminação, podemos reescrever a expressão de forma a aplicar a Regra de L’Hôpital. Vamos reescrever
como:
Agora, temos uma fração na qual o numerador tende a
e o denominador tende a
, formando a indeterminação
.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração que resulta em uma indeterminação, derivamos o numerador e o denominador:
Portanto, o limite do expoente é 0.
Passo 6
Retornando à expressão original, temos:
Isso significa que o limite de
quando
tende a 0 é 1.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Encontre os polinômios de Taylor de ordem
das seguintes funções em torno de
.
(a) .
(a)
Calcule os seguintes limites:
(d) .
(d)
Use as aproximações de Taylor para encontrar uma aproximação para
com um erro que não excede
.
Calcule os seguintes limites:
(a) .
(a)