Calcule os seguintes limites:
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir a função cosseno em série de Taylor e simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador . Sabemos que a função cosseno pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de 0:
Aqui, , então substituindo:

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão no numerador:
Simplificando:

Passo 4

Agora, colocamos isso sobre o denominador :
Vamos dividir cada termo do numerador por :
Simplificando as potências de :

Passo 5

Agora, analisamos cada termo quando :
  • tende a porque cresce para .
  • também tende a .
  • é constante.
Como os termos negativos e positivos que envolvem potências negativas de dominam o comportamento do limite e eles tendem para infinito, precisamos avaliar qual termo tem a maior influência.

Passo 6

Observando os termos:
  • cresce mais rápido que quando .
  • Portanto, o termo domina e, como é positivo, o limite tende a .

Resposta

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
(b) .
Calcule os seguintes limites:
© .
Encontre os polinômios de Taylor de ordem das seguintes funções em torno de .
(a) .
Calcule os seguintes limites:
(b) .