Calcule os seguintes limites:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir a função cosseno em série de Taylor e simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador
. Sabemos que a função cosseno pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de 0:
Aqui,
, então substituindo:
Passo 3
Agora, substituímos essa expansão no numerador:
Simplificando:
Passo 4
Agora, colocamos isso sobre o denominador
:
Vamos dividir cada termo do numerador por
:
Simplificando as potências de
:
Passo 5
Agora, analisamos cada termo quando
:
-
tende a porque cresce para . -
também tende a . -
é constante.
Como os termos negativos e positivos que envolvem potências negativas de
dominam o comportamento do limite e eles tendem para infinito, precisamos avaliar qual termo tem a maior influência.
Passo 6
Observando os termos:
-
cresce mais rápido que quando . - Portanto, o termo
domina e, como é positivo, o limite tende a .
Resposta
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
(b) .
(b)
Calcule os seguintes limites:
© .
©
Encontre os polinômios de Taylor de ordem
das seguintes funções em torno de
.
(a) .
(a)
Calcule os seguintes limites:
(b) .
(b)