Calcule os seguintes limites:
(d) lim x 0 cos (x^2)-1+x^3x^8.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir a função cosseno em série de Taylor e simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador cos(z) = 1 - z^22! + z^44! - cdots . Sabemos que a função cosseno pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de 0:
cos(x^2) = 1 - x^42 + x^824 - cdots
Aqui, , então substituindo:

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão no numerador:
cos(x^2) - 1 + x^3 = (1 - x^42 + x^824 - cdots ) - 1 + x^3
Simplificando:
cos(x^2) - 1 + x^3 = -x^42 + x^824 + x^3 + cdots

Passo 4

Agora, colocamos isso sobre o denominador cos(x^2) - 1 + x^3x^8 = -x^42 + x^3 + x^824 + cdotsx^8 :
= -x^42x^8 + x^3x^8 + x^824x^8 + cdots
Vamos dividir cada termo do numerador por = -12x^-4 + x^-5 + 124 + cdots :
Simplificando as potências de :

Passo 5

Agora, analisamos cada termo quando :
  • tende a porque cresce para .
  • também tende a .
  • é constante.
Como os termos negativos e positivos que envolvem potências negativas de dominam o comportamento do limite e eles tendem para infinito, precisamos avaliar qual termo tem a maior influência.

Passo 6

Observando os termos:
  • cresce mais rápido que quando .
  • Portanto, o termo domina e, como é positivo, o limite tende a .

Resposta

limx 0 cos(x^2) - 1 + x^3x^8 = +infty

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