Use as aproximações de Taylor para encontrar uma aproximação para
com um erro que não excede
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente usar as aproximações de Taylor para encontrar uma aproximação de
com um erro que não passe de
. Basicamente, vamos usar a série de Taylor da função seno em torno de 0 e ver quantos termos precisamos para chegar nessa precisão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função seno. A série de Taylor para
em torno de 0 é dada por:
Essa série infinita nos permite aproximar o valor de
usando uma quantidade finita de termos.
Passo 3
Nosso objetivo é calcular
. Vamos substituir
por
na série:
Passo 4
Vamos calcular cada termo até que o próximo termo seja menor que
, garantindo que o erro não passe desse valor.
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Passo 5
Agora, vamos somar os termos até onde o próximo termo seja menor que
:
Somando:
O próximo termo é aproximadamente
, que é menor que
, então podemos parar aqui.
Resposta
Aproximando
usando a série de Taylor com erro máximo de
, obtemos:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
(b) .
(b)
Encontre os polinômios de Taylor de ordem
das seguintes funções em torno de
.
(a) .
(a)
Calcule os seguintes limites:
(a) .
(a)
Um pedestre de
caminha em direção a um poste de luz de
de altura, a uma velocidade de
. Encontre a velocidade com que sua sombra varia de ângulo quando ele está a 10 m do poste.