Use as aproximações de Taylor para encontrar uma aproximação para com um erro que não excede .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente usar as aproximações de Taylor para encontrar uma aproximação de com um erro que não passe de . Basicamente, vamos usar a série de Taylor da função seno em torno de 0 e ver quantos termos precisamos para chegar nessa precisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função seno. A série de Taylor para em torno de 0 é dada por:
Essa série infinita nos permite aproximar o valor de usando uma quantidade finita de termos.

Passo 3

Nosso objetivo é calcular . Vamos substituir por na série:

Passo 4

Vamos calcular cada termo até que o próximo termo seja menor que , garantindo que o erro não passe desse valor.
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
  4. Quarto termo:

Passo 5

Agora, vamos somar os termos até onde o próximo termo seja menor que :
Somando:
O próximo termo é aproximadamente , que é menor que , então podemos parar aqui.

Resposta

Aproximando usando a série de Taylor com erro máximo de , obtemos:

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
(b) .
Encontre os polinômios de Taylor de ordem das seguintes funções em torno de .
(a) .
Calcule os seguintes limites:
(a) .
Um pedestre de caminha em direção a um poste de luz de de altura, a uma velocidade de . Encontre a velocidade com que sua sombra varia de ângulo quando ele está a 10 m do poste.