Calcule os seguintes limites:
(a) lim x 0 e^x-x-1x^2+2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
limx to 0 e^x - x - 1x^2 + 2x
Estamos lidando com Limites, uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as expansões de séries de Taylor e aplicar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + dots se aproxima de 0.
Para o numerador e^x - x - 1 = (1 + x + x^22 + x^36 + dots) - x - 1 = x^22 + x^36 + dots , lembramos que a expansão de x^2 + 2x = x(x + 2) em série de Taylor é:
Então,
Para o denominador , podemos fatorar:

Passo 3

Agora, vamos reescrever o limite com essas informações:
limx to 0 x^22 + x^36 + dotsx(x + 2) = limx to 0 x^2(12 + x6 + dots)x(x + 2)
Podemos simplificar limx to 0 x(12 + x6 + dots)x + 2 no numerador com no denominador:

Passo 4

Agora, notamos que quando 12 + x6 + dots approx 12 se aproxima de 0, os termos com limx to 0 x cdot 122 = limx to 0 x4 elevados a potências maiores tendem a 0. Então, podemos aproximar:
E no denominador, quando tende a 0 é aproximadamente 2. Então, simplificamos:

Passo 5

Finalmente, ao substituir 04 = 0 :

Resposta

limx to 0 e^x - x - 1x^2 + 2x = 0

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