Calcule os seguintes limites:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Estamos lidando com Limites, uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as expansões de séries de Taylor e aplicar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 0.
Para o numerador
, lembramos que a expansão de
em série de Taylor é:
Então,
Para o denominador
, podemos fatorar:
Passo 3
Agora, vamos reescrever o limite com essas informações:
Podemos simplificar
no numerador com
no denominador:
Passo 4
Agora, notamos que quando
se aproxima de 0, os termos com
elevados a potências maiores tendem a 0. Então, podemos aproximar:
E no denominador,
quando
tende a 0 é aproximadamente 2. Então, simplificamos:
Passo 5
Finalmente, ao substituir
: