Calcule os seguintes limites:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Estamos lidando com Limites, uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as expansões de séries de Taylor e aplicar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 0.
Para o numerador , lembramos que a expansão de em série de Taylor é:
Então,
Para o denominador , podemos fatorar:

Passo 3

Agora, vamos reescrever o limite com essas informações:
Podemos simplificar no numerador com no denominador:

Passo 4

Agora, notamos que quando se aproxima de 0, os termos com elevados a potências maiores tendem a 0. Então, podemos aproximar:
E no denominador, quando tende a 0 é aproximadamente 2. Então, simplificamos:

Passo 5

Finalmente, ao substituir :

Resposta

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Use as aproximações de Taylor para encontrar uma aproximação para com um erro que não excede .
Calcule os seguintes limites:
(b) .
Um pedestre de caminha em direção a um poste de luz de de altura, a uma velocidade de . Encontre a velocidade com que sua sombra varia de ângulo quando ele está a 10 m do poste.
Considere a função
(a) Determine .
(b) Determine o domínio de .