Encontre os polinômios de Taylor de ordem n das seguintes funções em torno de x0 = 0.
(a) f(x) = sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os polinômios de Taylor de ordem n para a função em torno de . Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor, que ajuda a aproximar funções por polinômios. Pra resolver, vamos precisar calcular as derivadas de até a ordem f(x) e usar a fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do polinômio de Taylor de ordem n para uma função f(x) em torno de :
Aqui, representa a k-ésima derivada de f(x) avaliada em 0, e é fatorial de k.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de até a ordem e avaliar cada uma em n.
Sabemos que as derivadas de se repetem a cada 4 derivadas:

E assim por diante.

Passo 4

Vamos agora avaliar cada derivada em x = 0:

Perceba que as derivadas de ordem ímpar alternam entre e 1, e as de ordem par são -1.

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio de Taylor usando a fórmula:
Mas, como as derivadas de ordem par são 0, apenas os termos de ordem ímpar vão contribuir.

Passo 6

Então, o polinômio de Taylor de ordem n para fica:
onde .

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem n para em torno de é:
0
onde é o maior inteiro tal que m. Isso significa que incluímos todos os termos ímpares até a ordem .

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