Encontre os polinômios de Taylor de ordem das seguintes funções em torno de .
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os polinômios de Taylor de ordem para a função em torno de . Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor, que ajuda a aproximar funções por polinômios. Pra resolver, vamos precisar calcular as derivadas de até a ordem e usar a fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do polinômio de Taylor de ordem para uma função em torno de :
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de até a ordem e avaliar cada uma em .
Sabemos que as derivadas de se repetem a cada 4 derivadas:

E assim por diante.

Passo 4

Vamos agora avaliar cada derivada em :

Perceba que as derivadas de ordem ímpar alternam entre e , e as de ordem par são .

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio de Taylor usando a fórmula:
Mas, como as derivadas de ordem par são , apenas os termos de ordem ímpar vão contribuir.

Passo 6

Então, o polinômio de Taylor de ordem para fica:
onde .

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem para em torno de é:
onde é o maior inteiro tal que . Isso significa que incluímos todos os termos ímpares até a ordem .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
(d) .
Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
(b) .
Calcule os seguintes limites:
(b) .
Use as aproximações de Taylor para encontrar uma aproximação para com um erro que não excede .