Encontre os polinômios de Taylor de ordem
das seguintes funções em torno de
.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os polinômios de Taylor de ordem
para a função em torno de
. Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor, que ajuda a aproximar funções por polinômios. Pra resolver, vamos precisar calcular as derivadas de
até a ordem
e usar a fórmula do polinômio de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do polinômio de Taylor de ordem
para uma função
em torno de
:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de até a ordem
e avaliar cada uma em
.
Sabemos que as derivadas de se repetem a cada 4 derivadas:
E assim por diante.
E assim por diante.
Passo 4
Vamos agora avaliar cada derivada em
:
Perceba que as derivadas de ordem ímpar alternam entre e
, e as de ordem par são
.
Perceba que as derivadas de ordem ímpar alternam entre
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio de Taylor usando a fórmula:
Mas, como as derivadas de ordem par são
, apenas os termos de ordem ímpar vão contribuir.
Passo 6
Então, o polinômio de Taylor de ordem
para fica:
onde
.
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem
para em torno de
é:
onde
é o maior inteiro tal que
. Isso significa que incluímos todos os termos ímpares até a ordem
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
(d) .
(d)
Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
(b) .
(b)
Calcule os seguintes limites:
(b) .
(b)
Use as aproximações de Taylor para encontrar uma aproximação para
com um erro que não excede
.