Calcule os seguintes limites:
(b) lim x 0 raizx e^sen(pix)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 na expressão . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites, propriedades das funções exponenciais e a Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto).

Passo 2

Vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Sabemos que tende a 0 quando tende a 0. Por outro lado, é uma função que oscila entre -1 e 1 para todo diferente de 0. Isso significa que o valor de estará sempre entre e , já que a função exponencial preserva as desigualdades.

Passo 3

Agora, vamos usar a Teorema do Confronto. Sabemos que:
Multiplicando todos os lados por e^-1 <= e^sen(pix) <= e^1 (que é positivo perto de 0), temos:
Como e^-1 cdot raizx <= raizx cdot e^sen(pix) <= e^1 cdot raizx tende a 0 quando tende a 0, ambos os limites das extremidades também tendem a 0.

Passo 4

Pela Teorema do Confronto, se uma função está “apertada” entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite da função intermediária também será esse mesmo valor. Portanto:

Resposta

O limite é igual a 0.

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