Determine, se existir, os seguintes limites:
(n) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{|x-1|}.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções e ao entendimento de como o valor absoluto afeta a expressão. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de limites, fatoração de expressões polinomiais e entender o comportamento do valor absoluto próximo ao ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Podemos fatorar esse polinômio como uma diferença de quadrados:

Passo 3

Substituindo a fatoração na expressão original, temos:
x^2 - 1|x - 1| = (x - 1)(x + 1)|x - 1|

Passo 4

Agora, vamos analisar a fração . O valor absoluto garante que o denominador seja sempre positivo. Dependendo do valor de em relação a 1, o numerador pode ser positivo ou negativo.

Passo 5

Vamos considerar dois casos para (x - 1)|x - 1| = (x - 1)x - 1 = 1 próximo a 1:
Caso 1: (x - 1)|x - 1| = (x - 1)-(x - 1) = -1
Nesse caso, é positivo, então . Substituindo:
Caso 2:
Aqui, é negativo, então . Substituindo:

Passo 6

Agora, substituindo de volta na expressão original para cada caso:
Caso 1: x^2 - 1|x - 1| = 1 cdot (x + 1) = x + 1
x^2 - 1|x - 1| = -1 cdot (x + 1) = - (x + 1) = -x - 1
Caso 2:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite de cada caso quando limx 1^+ (x + 1) = 1 + 1 = 2 se aproxima de 1:
Caso 1: limx 1^- (-x - 1) = -1 - 1 = -2
Caso 2:

Passo 8

Como os limites laterais são diferentes ( pelo lado direito e pelo lado esquerdo), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.

Exercícios relacionados

Determine, se existir, os seguintes limites:
(h) lim x 1 x^4-x^3-x^2+1x^2+x-2
Calcule os seguintes limites:
(b) lim x 0 raizx e^sen(pix)
Determine, se existir, os seguintes limites:
® \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}}{2}.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(k) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4 x+4}