Determine, se existir, os seguintes limites:
(n) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{|x-1|}.
(n) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{|x-1|}.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções e ao entendimento de como o valor absoluto afeta a expressão. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de limites, fatoração de expressões polinomiais e entender o comportamento do valor absoluto próximo ao ponto de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Podemos fatorar esse polinômio como uma diferença de quadrados:
Passo 3
Substituindo a fatoração na expressão original, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar a fração
. O valor absoluto
garante que o denominador seja sempre positivo. Dependendo do valor de
em relação a 1, o numerador
pode ser positivo ou negativo.
Passo 5
Vamos considerar dois casos para
próximo a 1:
Caso 1:
Nesse caso,
é positivo, então
. Substituindo:
Caso 2:
Aqui,
é negativo, então
. Substituindo:
Passo 6
Agora, substituindo de volta na expressão original para cada caso:
Caso 1:
Caso 2:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite de cada caso quando
se aproxima de 1:
Caso 1:
Caso 2:
Passo 8
Como os limites laterais são diferentes (
pelo lado direito e
pelo lado esquerdo), o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe porque os limites laterais são diferentes.