Calcule os seguintes limites, caso existam:
(10)
(10)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui, estamos trabalhando com limites, especificamente envolvendo funções com radicais. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e eliminar a indeterminação que aparece quando tentamos substituir
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Isso nos dá uma forma indeterminada (
), o que significa que precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica comum para resolver esse tipo de limite é racionalizar o denominador. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de
é
.
Então, multiplicamos a expressão por
:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
No denominador, usamos a identidade da diferença de quadrados:
. Aplicando isso:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, podemos simplificar o
no numerador e no denominador:
Isso simplifica bastante a expressão e elimina a indeterminação que tínhamos antes.
Passo 6
Finalmente, substituímos
na expressão simplificada para encontrar o limite:
Resposta
O limite é igual a 8.