Calcule os seguintes limites, caso existam:
(10) lim x 0 xraizx+16-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
lim x 0 xraizx+16-4
Aqui, estamos trabalhando com limites, especificamente envolvendo funções com radicais. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e eliminar a indeterminação que aparece quando tentamos substituir .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 0raiz0+16-4 = 04-4 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Isso nos dá uma forma indeterminada ( ), o que significa que precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica comum para resolver esse tipo de limite é racionalizar o denominador. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de xraizx+16-4 times raizx+16+4raizx+16+4 é .
Então, multiplicamos a expressão por :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
x(raizx+16 + 4)(raizx+16-4)(raizx+16+4)
No denominador, usamos a identidade da diferença de quadrados: (raizx+16)^2 - 4^2 = (x + 16) - 16 = x . Aplicando isso:
x(raizx+16 + 4)x
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar o raizx+16 + 4 no numerador e no denominador:
Isso simplifica bastante a expressão e elimina a indeterminação que tínhamos antes.

Passo 6

Finalmente, substituímos raiz0 + 16 + 4 = raiz16 + 4 = 4 + 4 = 8 na expressão simplificada para encontrar o limite:

Resposta

O limite é igual a 8.

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