Encontre L de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
(b) f(x) = { (raiz(16 + x) - raiz(16 - x)) / (2 * x), se x ≠ 0; L, se x = 0 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar o valor de para que essa função seja contínua em todos os pontos, especialmente em . Para isso, vamos usar o conceito de continuação de funções, que basicamente diz que a função é contínua em um ponto se o limite quando aproxima daquele ponto é igual ao valor da função no ponto.

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar o limite de quando se aproxima de 0. Se esse limite existir e for igual a , então a função será contínua em .

Passo 3

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador para eliminar a raiz. A expressão conjugada de é .
Então, multiplicamos:

Passo 4

Multiplicando os numeradores e denominadores:
Numerador:
Denominador:
Então, o limite fica:

Passo 5

Agora, podemos substituir diretamente, já que não há mais indeterminação:

Resposta

Portanto, o valor de que torna a função contínua é:

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