Encontre
de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar o valor de
para que essa função seja contínua em todos os pontos, especialmente em
. Para isso, vamos usar o conceito de continuação de funções, que basicamente diz que a função é contínua em um ponto se o limite quando
aproxima daquele ponto é igual ao valor da função no ponto.
Passo 2
Nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. Se esse limite existir e for igual a
, então a função será contínua em
.
Passo 3
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador para eliminar a raiz. A expressão conjugada de
é
.
Então, multiplicamos:
Passo 4
Multiplicando os numeradores e denominadores:
Numerador:
Denominador:
Então, o limite fica:
Passo 5
Agora, podemos substituir
diretamente, já que não há mais indeterminação:
Resposta
Portanto, o valor de
que torna a função contínua é: