Mostre que as igualdades são verdadeiras:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa provar que a soma da série é igual a . Isso envolve conhecimentos de séries infinitas e frações parciais. Para resolver, vamos precisar entender como decompor frações e somar séries.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que cada termo da série é da forma , onde começa em 1 e vai aumentando. Para somar essa série, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples.

Passo 3

Vamos decompor em frações parciais. Ou seja, queremos expressar como . Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos resolver para e . Expandindo a equação:
Agrupando os termos com :
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Ent��o, temos:

Passo 5

Resolvendo as equações:
De , temos .
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora que temos e , podemos reescrever:

Passo 7

Substituindo de volta na série original:

Passo 8

Vamos expandir os primeiros termos para ver o padrão:
Observamos que muitos termos se cancelam, deixando apenas os primeiros termos:

Resposta

A soma da série é igual a .

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Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma:
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(10)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(19)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(24)