Mostre que as igualdades são verdadeiras:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa provar que a soma da série
é igual a
. Isso envolve conhecimentos de séries infinitas e frações parciais. Para resolver, vamos precisar entender como decompor frações e somar séries.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que cada termo da série é da forma
, onde
começa em 1 e vai aumentando. Para somar essa série, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples.
Passo 3
Vamos decompor
em frações parciais. Ou seja, queremos expressar
como
. Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
e
. Expandindo a equação:
Agrupando os termos com
:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Ent��o, temos:
Passo 5
Resolvendo as equações:
De
, temos
.
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos reescrever:
Passo 7
Substituindo de volta na série original:
Passo 8
Vamos expandir os primeiros termos para ver o padrão:
Observamos que muitos termos se cancelam, deixando apenas os primeiros termos:
Resposta
A soma da série
é igual a
.
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Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma:
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(10)
(10)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(19)
(19)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(24)
(24)