Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular a soma dela. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar pra cada termo da série:
. Para facilitar nossa vida, vamos decompor essa fração em frações mais simples. Isso é feito através das frações parciais.
A ideia é encontrar números
e
tais que:
Passo 3
Vamos resolver para encontrar
e
. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Explicando aqui: precisamos que essa igualdade valha para todo
, então vamos escolher valores de
que facilitam.
Vamos escolher
:
Agora, escolhemos
:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Agora, vamos substituir isso na nossa série:
Observa que essa é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar. Vamos ver os primeiros termos para visualizar:
Acontece que
,
, etc., vão se cancelando, restando apenas o primeiro termo da primeira fração e o segundo termo da última fração.
Para calcular a soma até
termos:
Passo 5
Agora, para saber se a série converge, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Então, a série converge e a soma dela é
.
Resposta
A série é convergente e a sua soma é
.