Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma: 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + ... + 1/((k+1)(k+2)) + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + ... + 1/((k+1)(k+2)) + ... é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular a soma dela. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pra cada termo da série: . Para facilitar nossa vida, vamos decompor essa fração em frações mais simples. Isso é feito através das frações parciais.
A ideia é encontrar números A e B tais que:

Passo 3

Vamos resolver para encontrar A e B. Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Explicando aqui: precisamos que essa igualdade valha para todo k, então vamos escolher valores de k que facilitam.
Vamos escolher :
Agora, escolhemos :
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Agora, vamos substituir isso na nossa série:
Observa que essa é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar. Vamos ver os primeiros termos para visualizar:
Acontece que 1/3, 1/4, etc., vão se cancelando, restando apenas o primeiro termo da primeira fração e o segundo termo da última fração.
Para calcular a soma até n termos:

Passo 5

Agora, para saber se a série converge, vamos calcular o limite de quando n tende ao infinito:
Então, a série converge e a soma dela é 1/2.

Resposta

A série é convergente e a sua soma é 1/2.

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