Calcule os seguintes limites, caso existam:
(14) lim x 0 sen(5 x)sen(10 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 sen(5 x)sen(10 x)
Aqui, estamos lidando com limites de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta quando o ângulo está bem próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma coisa bem útil sobre o seno de um ângulo pequeno. Quando sen(kx) approx kx se aproxima de 0, temos a seguinte aproximação:
Isso significa que, para bem pequeno, o seno de é praticamente igual a .

Passo 3

Usando essa aproximação, podemos reescrever o nosso limite da seguinte forma:
lim x 0 sen(5 x)sen(10 x) approx lim x 0 5x10x
Aqui, substituímos por e por .

Passo 4

Agora, simplificamos a fração:
5x10x = 510 = 12
Perceba que o se cancela, deixando apenas um número.

Passo 5

Como chegamos a uma constante, o limite é simplesmente esse valor:
lim x 0 sen(5 x)sen(10 x) = 12

Resposta

12

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