Calcule os seguintes limites, caso existam:
(18)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Estamos trabalhando com limites, uma parte fundamental do cálculo que estuda o comportamento de uma função à medida que a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como simplificar expressões que resultam em formas indeterminadas, como 0/0, e aplicar algumas regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 0. Substituindo diretamente:
- No numerador:
- No denominador:
Isso nos dá a forma indeterminada
, que significa que precisamos de uma estratégia para resolver esse limite. Uma ferramenta muito útil para esses casos é a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital afirma que, se
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas:
Desde que as derivadas existam e o novo limite exista ou seja infinito.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiramente, calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
- Derivada de
: - Derivada de
:
Então, o limite fica:
Passo 5
Agora, substituímos
na nova expressão:
- No numerador:
- No denominador:
Portanto, o limite é:
Resposta
O limite é
.
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(23)
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