Calcule os seguintes limites, caso existam:
(18) lim x 0 sen xx^3-3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x 0 sin xx^3-3 x
Estamos trabalhando com limites, uma parte fundamental do cálculo que estuda o comportamento de uma função à medida que a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como simplificar expressões que resultam em formas indeterminadas, como 0/0, e aplicar algumas regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 0. Substituindo diretamente:
  • No numerador:
  • No denominador:
Isso nos dá a forma indeterminada , que significa que precisamos de uma estratégia para resolver esse limite. Uma ferramenta muito útil para esses casos é a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital afirma que, se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Desde que as derivadas existam e o novo limite exista ou seja infinito.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiramente, calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada de lim x 0 cos x3x^2 - 3:
  • Derivada de :
Então, o limite fica:

Passo 5

Agora, substituímos 1-3 = -13 na nova expressão:
  • No numerador:
  • No denominador:
Portanto, o limite é:

Resposta

O limite é .

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