Encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.
Lintegral0^t tau sen tau d tau

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função que é a integral de Lintegral0^t tau sin tau , dtau de 0 até , ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos da transformada de Laplace, especificamente propriedades que nos ajudam a transformar integrais e funções multiplicadas por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace relacionada a integrais. A transformada de Laplace de uma integral de uma função Lintegral0^t f(tau) , dtau = F(s)s de 0 até é:
onde é a transformada de Laplace de .

Passo 3

Agora, identificamos nossa função Lt sin(at) = 2 a s(s^2 + a^2)^2 como Lt sin t = 2 s(s^2 + 1)^2 . Precisamos encontrar a transformada de Laplace dessa função. Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Utilizando a propriedade do Passo 2 e a transformada que encontramos no Passo 3, substituímos Lintegral0^t tau sin tau , dtau = F(s)s = 2 s(s^2 + 1)^2s na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
2 s(s^2 + 1)^2s = 2 ss (s^2 + 1)^2 = 2(s^2 + 1)^2

Resposta

A transformada de Laplace da função dada é:
Lintegral0^t tau sin tau , dtau = 2(s^2 + 1)^2

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