Encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função que é a integral de de 0 até , ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos da transformada de Laplace, especificamente propriedades que nos ajudam a transformar integrais e funções multiplicadas por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace relacionada a integrais. A transformada de Laplace de uma integral de uma função de 0 até é:
onde é a transformada de Laplace de .

Passo 3

Agora, identificamos nossa função como . Precisamos encontrar a transformada de Laplace dessa função. Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Utilizando a propriedade do Passo 2 e a transformada que encontramos no Passo 3, substituímos na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:

Resposta

A transformada de Laplace da função dada é:

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