Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita pra analisar: . O que a gente precisa descobrir é se essa série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge. Se der certo, a gente também vai calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma das ferramentas que a gente tem em Matemática para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. É uma série onde cada termo é um múltiplo constante do termo anterior. Ela tem a forma geral:
Aqui, é o primeiro termo e é a razão da série (o quanto cada termo é multiplicado para chegar no próximo). Uma coisa importante sobre séries geométricas é que ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1 ( ). Se , a série diverge, ou seja, não soma a um valor finito.

Passo 3

Vamos reescrever a série que temos para encaixar na forma de uma série geométrica. A série original é:
Podemos simplificar o termo geral assim:
Agora, a série fica:
Aqui, vemos claramente que é uma série geométrica onde:
  • Primeiro termo ( ):
  • Razão ( ):

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição de convergência da série geométrica. Precisamos ver se o valor absoluto da razão é menor que 1:
Sabemos que , então:
Como , isso significa que .

Passo 5

Como a razão tem o valor absoluto maior que 1, de acordo com o teste da série geométrica, a série diverge. Isso quer dizer que a soma dos termos dessa série não se aproxima de nenhum número finito.

Resposta

A série diverge.

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