Calcule os seguintes limites, caso existam:
(16)
(16)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido na questão. Precisamos calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar propriedades dos limites.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão dentro do seno:
Perceba que o numerador
pode ser fatorado. Vamos fatorar:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, simplificamos a fração. Como
(estamos calculando o limite quando
se aproxima de 3, mas não exatamente em 3), podemos cancelar um
do numerador com o denominador:
Então, a expressão original dentro do seno simplifica para
.
Passo 4
Agora que simplificamos, a expressão do limite fica:
Sabemos que se
se aproxima de 3, então
se aproxima de 0. Portanto, o limite se reduz a:
Passo 5
Finalmente, sabemos que . Portanto, o limite é:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
para
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(20)
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