Calcule os seguintes limites, caso existam:
(16) lim x 3 sen(x^2-6 x+9x-3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido na questão. Precisamos calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar propriedades dos limites.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro do seno:
x^2 - 6x + 9x - 3
Perceba que o numerador x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 pode ser fatorado. Vamos fatorar:
(x - 3)^2x - 3
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, simplificamos a fração. Como (x - 3)^2x - 3 = x - 3 (estamos calculando o limite quando se aproxima de 3, mas não exatamente em 3), podemos cancelar um do numerador com o denominador:
Então, a expressão original dentro do seno simplifica para .

Passo 4

Agora que simplificamos, a expressão do limite fica:
Sabemos que se limx 3 sen(x - 3) se aproxima de 3, então sen(0) se aproxima de 0. Portanto, o limite se reduz a:

Passo 5

Finalmente, sabemos que . Portanto, o limite é:
0

Resposta

O limite é .

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