Calcule os seguintes limites, caso existam:
(16)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido na questão. Precisamos calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar propriedades dos limites.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro do seno:
Perceba que o numerador pode ser fatorado. Vamos fatorar:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, simplificamos a fração. Como (estamos calculando o limite quando se aproxima de 3, mas não exatamente em 3), podemos cancelar um do numerador com o denominador:
Então, a expressão original dentro do seno simplifica para .

Passo 4

Agora que simplificamos, a expressão do limite fica:
Sabemos que se se aproxima de 3, então se aproxima de 0. Portanto, o limite se reduz a:

Passo 5

Finalmente, sabemos que . Portanto, o limite é:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma: para
Calcule os seguintes limites, caso existam:
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