Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma: sumn=0^infty u^n(1+u^n) para |u|<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para decidir se a série sumn=0^infty u^n(1+u^n) converge quando |u| < 1. Além disso, se der, a gente tem que calcular a soma dessa série. Vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série que temos:
sumn=0^infty u^n(1 + u^n)
Podemos simplificar essa expressão distribuindo o u^n dentro dos parênteses:
sumn=0^infty (u^n + u^2n)
Isso nos dá duas séries separadas:
sumn=0^infty u^n + sumn=0^infty u^2n

Passo 3

Agora, vamos identificar cada uma dessas séries. Ambas são séries geométricas, que têm a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
Onde a é o primeiro termo e r é a razão. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, |r| < 1.

Passo 4

Vamos analisar a primeira série:
sumn=0^infty u^n
Aqui, a = 1 e r = u. Como sabemos que |u| < 1, essa série converge. A soma de uma série geométrica que converge é dada por:
sumn=0^infty ar^n = a1 - r
Aplicando isso à nossa série:
sumn=0^infty u^n = 11 - u

Passo 5

Agora, vamos para a segunda série:
sumn=0^infty u^2n
Aqui, podemos reescrever u^2n como (u^2)^n. Então, temos novamente uma série geométrica com a = 1 e r = u^2. Como |u| < 1, temos que |u^2| = |u|^2 < 1, então essa série também converge. Aplicando a fórmula da soma:
sumn=0^infty u^2n = 11 - u^2

Passo 6

Agora que sabemos que ambas as séries individuais convergem, podemos somá-las para encontrar a soma total da série original:
sumn=0^infty u^n(1 + u^n) = sumn=0^infty u^n + sumn=0^infty u^2n = 11 - u + 11 - u^2

Resposta

A série sumn=0^infty u^n(1 + u^n) converge para |u| < 1 e sua soma é:
11 - u + 11 - u^2

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