Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para decidir se a série
converge quando
. Além disso, se der, a gente tem que calcular a soma dessa série. Vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série que temos:
Podemos simplificar essa expressão distribuindo o
dentro dos parênteses:
Isso nos dá duas séries separadas:
Passo 3
Agora, vamos identificar cada uma dessas séries. Ambas são séries geométricas, que têm a forma geral:
Onde
é o primeiro termo e
é a razão. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja,
.
Passo 4
Vamos analisar a primeira série:
Aqui,
e
. Como sabemos que
, essa série converge. A soma de uma série geométrica que converge é dada por:
Aplicando isso à nossa série:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda série:
Aqui, podemos reescrever
como
. Então, temos novamente uma série geométrica com
e
. Como
, temos que
, então essa série também converge. Aplicando a fórmula da soma:
Passo 6
Agora que sabemos que ambas as séries individuais convergem, podemos somá-las para encontrar a soma total da série original:
Resposta
A série
converge para
e sua soma é:
Exercícios relacionados
Determine os extremos da função
no quadrado
.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(11)
(11)
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(16)
(16)