Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma: para

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para decidir se a série converge quando . Além disso, se der, a gente tem que calcular a soma dessa série. Vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série que temos:
Podemos simplificar essa expressão distribuindo o dentro dos parênteses:
Isso nos dá duas séries separadas:

Passo 3

Agora, vamos identificar cada uma dessas séries. Ambas são séries geométricas, que têm a forma geral:
Onde é o primeiro termo e é a razão. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos analisar a primeira série:
Aqui, e . Como sabemos que , essa série converge. A soma de uma série geométrica que converge é dada por:
Aplicando isso à nossa série:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda série:
Aqui, podemos reescrever como . Então, temos novamente uma série geométrica com e . Como , temos que , então essa série também converge. Aplicando a fórmula da soma:

Passo 6

Agora que sabemos que ambas as séries individuais convergem, podemos somá-las para encontrar a soma total da série original:

Resposta

A série converge para e sua soma é:

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Determine os extremos da função no quadrado .
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(11)
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(16)