Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
z = 3x + 4y ; x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os extremos da função sujeita à restrição . Para isso, usaremos o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de uma função com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método nos permite maximizar ou minimizar uma função sujeita a uma restrição . A ideia é criar uma nova função chamada função de Lagrange, que combina e usando um multiplicador, geralmente representado por .

Passo 3

No nosso caso, a função que queremos otimizar é e a restrição é . Vamos definir a função de Lagrange assim:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os pontos onde as derivadas parciais de em relação a , e são iguais a zero. Isso nos dará um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. A partir da equação (1):
Da equação (2):
Agora, igualamos as duas expressões para :

Passo 6

Substituímos na restrição :

Passo 7

Encontramos os valores de . Agora, calculamos usando :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, temos dois pontos críticos: e . Vamos calcular em cada ponto para encontrar os extremos.
Para :
Para :

Resposta

Os extremos da função sujeitos à restrição são:
  • Máximo: no ponto
  • Mínimo: no ponto

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