Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os extremos da função
sujeita à restrição
. Para isso, usaremos o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de uma função com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método nos permite maximizar ou minimizar uma função
sujeita a uma restrição
. A ideia é criar uma nova função chamada função de Lagrange, que combina
e
usando um multiplicador, geralmente representado por
.
Passo 3
No nosso caso, a função que queremos otimizar é
e a restrição é
. Vamos definir a função de Lagrange
assim:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os pontos onde as derivadas parciais de
em relação a
,
e
são iguais a zero. Isso nos dará um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. A partir da equação (1):
Da equação (2):
Agora, igualamos as duas expressões para
:
Passo 6
Substituímos
na restrição
:
Passo 7
Encontramos os valores de
. Agora, calculamos
usando
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, temos dois pontos críticos:
e
. Vamos calcular
em cada ponto para encontrar os extremos.
Para
:
Para
:
Resposta
Os extremos da função
sujeitos à restrição
são:
- Máximo:
no ponto - Mínimo:
no ponto