Calcule os seguintes limites, caso existam:
(20)
(20)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. A gente vai trabalhar com limites, que é um assunto de cálculo que estuda o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um certo valor. Aqui, queremos ver o que acontece com a expressão quando
chega perto de 0. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e conhecimentos sobre as funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando
se aproxima de 0.
No numerador temos
. Sabemos que
e
, então:
No denominador temos
. Quando
se aproxima de 0:
Então, ao substituir
, a expressão fica do tipo
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para resolver uma forma indeterminada como
, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que se
, então:
desde que esse limite exista.
Vamos aplicar isso aqui. Primeiro, calculamos as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Vamos calcular esse limite substituindo
:
No numerador:
No denominador:
Resposta
Portanto, o limite é:
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Calcule os seguintes limites, caso existam:
(16)
(16)
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e
.