Calcule os seguintes limites, caso existam:
(20) lim x 0 sen(x) cos (x)x^2+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . A gente vai trabalhar com limites, que é um assunto de cálculo que estuda o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um certo valor. Aqui, queremos ver o que acontece com a expressão quando chega perto de 0. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e conhecimentos sobre as funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando sin(0) cos(0) = 0 times 1 = 0 se aproxima de 0.
No numerador temos 0^2 + 0 = 0 . Sabemos que e , então:
No denominador temos . Quando se aproxima de 0:
Então, ao substituir , a expressão fica do tipo , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver uma forma indeterminada como limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que se ddx [sin(x) cos(x)] = cos^2(x) - sin^2(x) (usando a regra do produto) , então:
ddx [x^2 + x] = 2x + 1
desde que esse limite exista.
Vamos aplicar isso aqui. Primeiro, calculamos as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
limx 0 sin(x) cos(x)x^2+x = limx 0 cos^2(x) - sin^2(x)2x + 1
Vamos calcular esse limite substituindo cos^2(0) - sin^2(0) = 1^2 - 0^2 = 1 :
No numerador:
2(0) + 1 = 1
No denominador:

Resposta

Portanto, o limite é:
limx 0 sin(x) cos(x)x^2+x = 11 = 1

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