Calcule os seguintes limites, caso existam:
(20)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . A gente vai trabalhar com limites, que é um assunto de cálculo que estuda o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um certo valor. Aqui, queremos ver o que acontece com a expressão quando chega perto de 0. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e conhecimentos sobre as funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando se aproxima de 0.
No numerador temos . Sabemos que e , então:
No denominador temos . Quando se aproxima de 0:
Então, ao substituir , a expressão fica do tipo , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver uma forma indeterminada como , podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que se , então:
desde que esse limite exista.
Vamos aplicar isso aqui. Primeiro, calculamos as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Vamos calcular esse limite substituindo :
No numerador:
No denominador:

Resposta

Portanto, o limite é:

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Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e .