Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados: e .
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que queremos otimizar (máximo ou mínimo) sujeita à condição e com variando entre e . Para resolver isso, vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os extremos de uma função com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método dos Multiplicadores de Lagrange. Basicamente, ele nos permite transformar um problema de otimização com restrição em um sistema de equações que podemos resolver. Fazemos isso introduzindo um multiplicador (geralmente denotado por ) que liga a função que queremos otimizar à restrição.
Passo 3
Vamos definir a função Lagrangiana combinando nossa função e a restrição :
Aqui, é o nosso multiplicador de Lagrange.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função Lagrangiana em relação a , e , e igualá-las a zero:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 5
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Podemos somar as duas primeiras equações para eliminar :
Passo 6
Utilizando uma identidade trigonométrica para somar senos:
Sabendo que , temos:
Como , então:
é
Passo 7
Temos agora dois sistemas possíveis para e :
Somando as duas equações:
Subtraindo as equações:
Passo 8
Como , vamos verificar quais valores de satisfazem essa condição.
Para :
Para :
Para :
Portanto, a única solução válida dentro do intervalo é para :
Passo 9
Vamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo. Calculando a função nesse ponto:
Sabendo que , temos:
Valores de serão positivos, indicando que temos um mínimo local.
Resposta
O ponto de extremo da função sujeito à restrição e ocorre em e , com .