Calcule os seguintes limites, caso existam:
(17) lim x 3 sen(x-3)x^2-2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para calcular . Aqui, a matéria envolvida é o cálculo de limites, e a gente vai precisar usar algumas propriedades básicas de limites e talvez fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos diretamente na expressão. No numerador, temos . No denominador, temos . Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador, que é um polinômio quadrático: x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) . Para fatorar isso, procuramos dois números que multiplicados dão limx to 3 sin(x-3)(x - 3)(x + 1) e somados dão . Esses números são e . Então, podemos escrever:
Agora, a expressão do limite fica:

Passo 4

Perceba que temos um limx to 3 sin(x-3)x - 3 times 1x + 1 = 1 times 13 + 1 = 14 no denominador. Para simplificar, vamos dividir por . Sabemos que , onde . Então, substituindo:

Resposta

O limite é .

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