Compute:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses três limites juntos! O enunciado pede para calcular três limites diferentes envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de limites, como a regra de L’Hôpital e o comportamento de funções quando
tende ao infinito. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, observamos que quando
se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo
. Nesses casos, a regra de L’Hôpital é útil.
Aplicando a regra:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, calculamos o limite das derivadas:
Passo 3
Parte (b):
Vamos simplificar passo a passo:
-
Dentro dos parênteses mais internos: quando
é . -
Substituindo: A expressão fica .
Portanto, o limite é 0.
Passo 4
Parte ©:
Vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador:
- Numerador: Multiplicando os termos principais:
- Denominador: O termo de maior grau é
.
Quando
, os termos de menor grau se tornam insignificantes, então o limite aproxima-se de:
Resposta
(a)
(b)
©
(b)
©
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