Compute:
(a) lim x 0 x+sen xx^2-sen x
(b) lim x pi sen(x+sen(x+sen(x)))
© lim x -infty (2 x-3)(3 x+5)(4 x-6)3 x^3+x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses três limites juntos! O enunciado pede para calcular três limites diferentes envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de limites, como a regra de L’Hôpital e o comportamento de funções quando tende ao infinito. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): lim x 0 1 + cos x2x - cos x = 1 + cos 02 cdot 0 - cos 0 = 1 + 10 - 1 = 2-1 = -2
Primeiro, observamos que quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo . Nesses casos, a regra de L’Hôpital é útil.
Aplicando a regra:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, calculamos o limite das derivadas:

Passo 3

Parte (b):
Vamos simplificar passo a passo:
  1. Dentro dos parênteses mais internos: quando é .
  2. Substituindo: A expressão fica .
Portanto, o limite é 0.

Passo 4

Parte ©: (2x)(3x)(4x) = 24x^3
Vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador:
  1. Numerador: Multiplicando os termos principais:
24x^33x^3 = 243 = 8
  1. Denominador: O termo de maior grau é .
Quando , os termos de menor grau se tornam insignificantes, então o limite aproxima-se de:

Resposta

(a)
(b)
©

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