Calcule os seguintes limites, caso existam:
(21) lim x infty sen(1 / x)1 / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício pertence à matéria de Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como as funções se comportam quando a variável tende ao infinito ou a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a expressão fazendo uma substituição. Vamos definir . Quando tende ao infinito, tende a zero. Isso simplifica nosso limite para uma forma mais conhecida.

Passo 3

Substituindo limx infty sin(1 / x)1 / x = limt 0 sin tt na expressão original, temos:

Passo 4

Agora, usamos um resultado fundamental de limites que diz:
limt 0 sin tt = 1
Isso significa que, à medida que se aproxima de zero, a razão entre e se aproxima de 1.

Resposta

Portanto, o limite é igual a .

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