Calcule os seguintes limites, caso existam:
(4) lim x 3 x^x^2-9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite . Isso envolve limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0 quando se aproxima de 3. Observando o expoente , substituindo temos:
Então, a expressão fica , que sabemos que é igual a 1. Mas para garantir que isso realmente acontece no limite, precisamos verificar o comportamento da função perto de .

Passo 3

Para lidar com potências onde a base e o expoente dependem de a^b = e^b ln a , uma técnica útil é reescrever a expressão usando a função exponencial x^x^2-9 = e^(x^2-9) ln x . Sabemos que:
Aplicando isso à nossa expressão:
Agora, nosso objetivo é calcular o limite de quando .

Passo 4

Como a função exponencial limx 3 (x^2 - 9) ln x é contínua, podemos focar no limite do expoente (3^2 - 9) ln 3 = (9 - 9) ln 3 = 0 times ln 3 = 0 . Vamos calcular:
Substituindo :
Então, o limite do expoente é 0.

Passo 5

Voltando à expressão original reescrita:
limx 3 e^(x^2-9) ln x = e^limx 3 (x^2-9) ln x = e^0 = 1

Resposta

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Calcule os seguintes limites, caso existam:
(5) lim x -1 e^x^2-1
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
y' + 4y = e^(-4t), y(0) = 0
Compute:
(a) lim x 0 x+sen xx^2-sen x
(b) lim x pi sen(x+sen(x+sen(x)))
© lim x -infty (2 x-3)(3 x+5)(4 x-6)3 x^3+x-1
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(17) lim x 3 sen(x-3)x^2-2 x-3