Beleza! A gente tem que encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso envolve entender a Transformada de Laplace e como lidar com termos exponenciais no numerador. Vamos precisar usar propriedades de deslocamento no domínio de Laplace e decomposição em frações parciais para resolver essa parada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a presença de na transformada de Laplace indica um deslocamento no tempo. Essa propriedade é conhecida como o Teorema do Deslocamento. Basicamente, se temos , então , onde é a função de Heaviside.
Passo 3
Então, podemos reescrever a nossa função como . Isso sugere que vamos encontrar a transformada inversa sem o primeiro e depois aplicar o deslocamento no tempo.
Passo 4
Vamos focar em . Para achar a transformada inversa, vamos decompor essa fração em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de ambos os lados:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Passo 7
Então, a decomposição fica:
Agora, podemos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.
Passo 8
Aplicando a transformada inversa:
Então,
Passo 9
Agora, lembrando do fator que estávamos ignorando inicialmente, aplicamos o Teorema do Deslocamento:
Onde é a função de Heaviside que “ativa” a função a partir de .