Calcule os seguintes limites, caso existam:
(19)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que dão uma forma indeterminada, tipo , usando técnicas como a substituição ou a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão pra ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de outra abordagem pra resolver esse limite.

Passo 3

Quando temos uma forma , uma das ferramentas que podemos usar é a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital no nosso caso. Primeiro, identificamos e . Agora, vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Agora substituímos as derivadas no limite:
Agora, vamos substituir diretamente nessa nova expressão:

Passo 6

Sabemos que , então temos:

Resposta

O limite é igual a 10.

Exercícios relacionados

Mostre que as igualdades são verdadeiras:
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma:
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(24)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
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