Calcule os seguintes limites, caso existam:
(19)
(19)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que dão uma forma indeterminada, tipo
, usando técnicas como a substituição ou a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão pra ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos de outra abordagem pra resolver esse limite.
Passo 3
Quando temos uma forma
, uma das ferramentas que podemos usar é a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital no nosso caso. Primeiro, identificamos e
. Agora, vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 5
Agora substituímos as derivadas no limite:
Agora, vamos substituir
diretamente nessa nova expressão:
Passo 6
Sabemos que
, então temos:
Resposta
O limite é igual a 10.
Exercícios relacionados
Mostre que as igualdades são verdadeiras:
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma:
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(24)
(24)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(36)
(36)