Calcule os seguintes limites, caso existam:
(19) lim x 5 sen(x^2-25)x-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que dão uma forma indeterminada, tipo , usando técnicas como a substituição ou a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir sen(5^2-25)5-5 = sen(25-25)0 = sen(0)0 = 00 na expressão pra ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de outra abordagem pra resolver esse limite.

Passo 3

Quando temos uma forma limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , uma das ferramentas que podemos usar é a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital no nosso caso. Primeiro, identificamos e f'(x) = cos(x^2-25) cdot 2x (usando a regra da cadeia) . Agora, vamos calcular as derivadas de g'(x) = 1 e :

Passo 5

Agora substituímos as derivadas no limite:
limx 5 cos(x^2-25) cdot 2x1 = limx 5 2x cdot cos(x^2-25)
Agora, vamos substituir 2 cdot 5 cdot cos(5^2-25) = 10 cdot cos(25-25) = 10 cdot cos(0) diretamente nessa nova expressão:

Passo 6

Sabemos que 10 cdot 1 = 10 , então temos:

Resposta

O limite é igual a 10.

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