Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. O problema que temos é encontrar os extremos (mínimos ou máximos) da função sujeita à restrição , onde e . Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange em problemas de otimização com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador que chamaremos de . A função de Lagrange fica assim:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e , e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.

Derivada em relação a :

Derivada em relação a :

Derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações que obtivemos:
Igualando as duas expressões para :

Passo 5

Sabemos que . Vamos usar isso na nossa restrição :
Como , também temos .

Passo 6

Com os valores de e encontrados, podemos calcular o valor de :

Resposta

O valor extremo de sujeito à restrição é , alcançado quando e .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites, caso existam:
(20)
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e .
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma: