Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. O problema que temos é encontrar os extremos (mínimos ou máximos) da função
sujeita à restrição
, onde
e
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange em problemas de otimização com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador que chamaremos de
. A função de Lagrange fica assim:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações que obtivemos:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 5
Sabemos que
. Vamos usar isso na nossa restrição
:
Como
, também temos
.
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, podemos calcular o valor de
:
Resposta
O valor extremo de
sujeito à restrição
é
, alcançado quando
e
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(20)
(20)
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e
.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma: