Calcule os seguintes limites, caso existam:
(22) lim x 1 cos (x^2+x-22 x^4-x^3+x-2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite:
lim x 1 cos (x^2+x-22 x^4-x^3+x-2)
Estamos lidando com limites que envolvem funções trigonométricas e racionais (frações de polinômios). Para resolver isso, precisamos primeiro encontrar o limite da fração dentro do cosseno e depois aplicar a função cosseno ao resultado obtido.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite da fração dentro do cosseno:
lim x 1 x^2+x-22 x^4-x^3+x-2
Vamos substituir 1^2 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 na fração para ver o que acontece:
No numerador:
2 times 1^4 - 1^3 + 1 - 2 = 2 - 1 + 1 - 2 = 0
No denominador:
Obtemos a forma indeterminada , o que significa que precisamos de uma estratégia para resolver esse limite. Nesse caso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites que resultam em ou .

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
ddx(x^2 + x - 2) = 2x + 1
Derivada do denominador:
ddx(2 x^4 - x^3 + x - 2) = 8x^3 - 3x^2 + 1
Agora, calculamos o limite das derivadas quando 2 times 1 + 1 = 3 tende a 1:
Substituindo 8 times 1^3 - 3 times 1^2 + 1 = 8 - 3 + 1 = 6 nas derivadas:
Numerador:
36 = 0.5
Denominador:
Então, o limite da fração é:

Resposta

Agora que encontramos que:
lim x 1 x^2+x-22 x^4-x^3+x-2 = 0.5
Podemos substituir esse valor no cosseno:
lim x 1 cos (x^2+x-22 x^4-x^3+x-2) = cos(0.5) approx 0.8776
Portanto, o limite é aproximadamente 0.8776.

Exercícios relacionados

Encontre F(s) ou f(t).
L^-1{e^{-2 s}/(s^{2}(s-1))}
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(21) lim x infty sen(1 / x)1 / x
Sabendo que lim x +infty(1+1x)^x=e, calcule:
(a) lim x +infty(1+12 x)^x
(b) lim x 0^+(1+x)^1x
© lim x 0(e^x-1x)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(27) lim x -infty raiz1-xx