Sabendo que lim x +infty(1+1x)^x=e, calcule:
(a) lim x +infty(1+12 x)^x
(b) lim x 0^+(1+x)^1x
© lim x 0(e^x-1x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos três limites para calcular usando o conhecimento de limites de funções exponenciais. Vamos precisar entender como os limites funcionam quando a variável tende ao infinito ou a zero, e aplicar algumas propriedades de funções exponenciais. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a letra a):
lim x +infty(1+12 x)^x
Primeiro, observe que sabemos que:
lim x +infty(1+1x)^x=e
Queremos relacionar esse limite com o que temos no exercício. Para isso, vamos fazer uma substituição para facilitar.
Vamos chamar (1+12 x)^x = (1+1t)^t2 . Assim, quando (1+1t)^t2 = ((1+1t)^t)^12 e^12 = raize tende a , também tende a . Substituindo na expressão original:
Agora, sabemos que tende a quando tende a . Então:

Passo 3

Agora vamos para a letra b):
lim x 0^+(1+x)^1x
Esse limite é um clássico e está relacionado à definição do número lim x 0(1+x)^1x = e . Sabemos que:
Aqui, o limite é quando se aproxima de zero pela direita ( ), mas o resultado continua sendo , já que a função é contínua nesse ponto.

Passo 4

Por fim, vamos resolver a letra c):
lim x 0(e^x-1x)
Para resolver esse limite, podemos usar a definição da derivada de ddxe^x g|x=0 = e^0 = 1 no ponto e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + cdots . A derivada de e^x-1x = 1 + x2! + x^23! + cdots é mesmo, então:
Outra maneira de ver isso é expandindo em série de Taylor:
Subtraindo 1 e dividindo por :
Quando tende a 0, todos os termos que envolvem desaparecem, restando apenas 1.

Resposta

O limite da letra c) é .

Answer

Respostas:
  • a)
  • b)
  • c)

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