Sabendo que , calcule:
(a)
(b)
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos três limites para calcular usando o conhecimento de limites de funções exponenciais. Vamos precisar entender como os limites funcionam quando a variável tende ao infinito ou a zero, e aplicar algumas propriedades de funções exponenciais. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a letra a):
Primeiro, observe que sabemos que:
Queremos relacionar esse limite com o que temos no exercício. Para isso, vamos fazer uma substituição para facilitar.
Vamos chamar . Assim, quando tende a , também tende a . Substituindo na expressão original:
Agora, sabemos que tende a quando tende a . Então:

Passo 3

Agora vamos para a letra b):
Esse limite é um clássico e está relacionado à definição do número . Sabemos que:
Aqui, o limite é quando se aproxima de zero pela direita ( ), mas o resultado continua sendo , já que a função é contínua nesse ponto.

Passo 4

Por fim, vamos resolver a letra c):
Para resolver esse limite, podemos usar a definição da derivada de no ponto . A derivada de é mesmo, então:
Outra maneira de ver isso é expandindo em série de Taylor:
Subtraindo 1 e dividindo por :
Quando tende a 0, todos os termos que envolvem desaparecem, restando apenas 1.

Resposta

O limite da letra c) é .

Answer

Respostas:
  • a)
  • b)
  • c)

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Calcule os seguintes limites, caso existam:
(22)
Encontre F(s) ou f(t).
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(27)
Determine para dado, de modo que satizfaça a definição de limite, sabendo que e .