Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos três limites para calcular usando o conhecimento de limites de funções exponenciais. Vamos precisar entender como os limites funcionam quando a variável tende ao infinito ou a zero, e aplicar algumas propriedades de funções exponenciais. Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
Vamos começar com a letra a):
Primeiro, observe que sabemos que:
Queremos relacionar esse limite com o que temos no exercício. Para isso, vamos fazer uma substituição para facilitar.
Vamos chamar . Assim, quando tende a , também tende a . Substituindo na expressão original:
Agora, sabemos que tende a quando tende a . Então:
Passo 3
Agora vamos para a letra b):
Esse limite é um clássico e está relacionado à definição do número . Sabemos que:
Aqui, o limite é quando se aproxima de zero pela direita (), mas o resultado continua sendo , já que a função é contínua nesse ponto.
Passo 4
Por fim, vamos resolver a letra c):
Para resolver esse limite, podemos usar a definição da derivada de no ponto . A derivada de é mesmo, então:
Outra maneira de ver isso é expandindo em série de Taylor:
Subtraindo 1 e dividindo por :
Quando tende a 0, todos os termos que envolvem desaparecem, restando apenas 1.