Calcule os seguintes limites, caso existam:
(27) lim x -infty raiz1-xx

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve entender como funções com raízes quadradas e funções racionais se comportam quando cresce sem limite negativo. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento de cada parte conforme tende a .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador . Quando tende a , o termo se torna muito grande e positivo, pois subtrair um número negativo grande é o mesmo que somar um número positivo grande. Portanto, também cresce conforme se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão raiz1 - x = raiz-x + 1 = raiz-x(1 - 1x) = raiz-x cdot raiz1 - 1x de uma forma que facilite o cálculo do limite. Podemos fatorar raiz1 - x approx raiz-x dentro da raiz:
Como tende a , tende a zero. Portanto, . Assim, a expressão fica:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original:
raiz1 - xx approx raiz-xx
Sabemos que raiz-xx = raiz|x|x porque raiz|x|-|x| = -raiz|x||x| = -1raiz|x| é negativo. Então:
Como é negativo, podemos escrever . Substituindo:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de conforme . Conforme fica cada vez mais negativo, cresce sem limite, então também cresce sem limite. Isso faz com que tenda a zero.
Portanto,

Resposta

lim x -infty raiz1 - xx = 0

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