Calcule os seguintes limites, caso existam:
(27)
(27)
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício envolve entender como funções com raízes quadradas e funções racionais se comportam quando
cresce sem limite negativo. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento de cada parte conforme
tende a
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
. Quando
tende a
, o termo
se torna muito grande e positivo, pois subtrair um número negativo grande é o mesmo que somar um número positivo grande. Portanto,
também cresce conforme
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão
de uma forma que facilite o cálculo do limite. Podemos fatorar
dentro da raiz:
Como
tende a
,
tende a zero. Portanto,
. Assim, a expressão fica:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão original:
Sabemos que
porque
é negativo. Então:
Como
é negativo, podemos escrever
. Substituindo:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
conforme
. Conforme
fica cada vez mais negativo,
cresce sem limite, então
também cresce sem limite. Isso faz com que
tenda a zero.
Portanto,