Em um determinado processador, a quantidade de x Gb de dados, com
, é processada em
segundos. Para uma quantidade
Gb , o tempo de processamento é igual a
segundos, em que
é uma constante positiva. Isso define a função
, em que
é o tempo de processamento de uma quanti-
dade
de dados.
(a) Calcule os limites
e
(b) Calcule o limite
© Determine o valor de
para que
exista.
dade
(a) Calcule os limites
(b) Calcule o limite
© Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um processador que demora um certo tempo para processar dados, dependendo da quantidade de dados que você está processando. A função que descreve esse tempo é dividida em duas partes:
- Quando a quantidade de dados,
, é menor ou igual a 10 Gb: O tempo de processamento é dado por segundos. - Quando a quantidade de dados,
, é maior que 10 Gb: O tempo de processamento é segundos, onde é uma constante positiva que precisamos determinar.
Vamos resolver os itens (a), (b) e © passo a passo usando conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
(a) Calculando os limites
e
Primeiro, precisamos entender o que são esses limites:
-
: O limite da função quando se aproxima de 10 vindo da esquerda (valores menores que 10). -
: O limite da função quando se aproxima de 10 vindo da direita (valores maiores que 10).
Vamos calcular cada um deles.
Para
próximo a 10 pelo lado esquerdo (
):
Usamos a função
.
Para
próximo a 10 pelo lado direito (
):
Usamos a função
.
Substituindo
:
Portanto, ambos os limites são iguais a 300.
Passo 3
(b) Calculando o limite
Esse limite representa a derivada de
no ponto
pelo lado direito. Vamos calcular passo a passo.
Primeiro, precisamos saber o valor de
. Como
está na parte da função
:
Agora, substituímos na expressão do limite:
Usando a função para
:
Podemos fatorar
como
:
Agora, podemos cancelar
nos numerador e denominador:
Finalmente, substituímos
:
Portanto, o limite é
.
Passo 4
© Determinando o valor de
para que
exista
Para que o limite exista em
, os limites pelo lado esquerdo e direito devem ser iguais. Já calculamos no item (a) que ambos os limites de
em
são 300, garantindo a continuidade.
No item (b), calculamos o limite pelo lado direito como
.
Para o limite total existir, a derivada pelo lado esquerdo também deve existir e ser igual a
.
Vamos encontrar a derivada pelo lado esquerdo:
A função para
é
.
A derivada dessa função é:
Portanto, para que a derivada exista e seja contínua em
, devemos ter:
Resolvendo para
:
Resposta
Para que o limite
exista, o valor de
deve ser
.