Em um determinado processador, a quantidade de x Gb de dados, com x <= 10, é processada em T(x)=2 x+280 segundos. Para uma quantidade x>10 Gb , o tempo de processamento é igual a T(x)=K(x^2-10^2)+300 segundos, em que K é uma constante positiva. Isso define a função T:[0, infty) R, em que T(x) é o tempo de processamento de uma quanti-
dade x de dados.
(a) Calcule os limites lim x 10^- T(x) e lim x 10^+ T(x)
(b) Calcule o limite lim x 10^+ T(x)-T(10)x-10
© Determine o valor de K para que lim x 10 T(x)-T(10)x-10 exista.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um processador que demora um certo tempo para processar dados, dependendo da quantidade de dados que você está processando. A função que descreve esse tempo é dividida em duas partes:
  1. Quando a quantidade de dados, , é menor ou igual a 10 Gb: O tempo de processamento é dado por segundos.
  2. Quando a quantidade de dados, , é maior que 10 Gb: O tempo de processamento é segundos, onde é uma constante positiva que precisamos determinar.
Vamos resolver os itens (a), (b) e © passo a passo usando conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

(a) Calculando os limites limx to 10^- T(x) = 2(10) + 280 = 20 + 280 = 300 e limx to 10^+ T(x) = K(10^2 - 100) + 300 = K(100 - 100) + 300 = K(0) + 300 = 300
Primeiro, precisamos entender o que são esses limites:
  • : O limite da função quando se aproxima de 10 vindo da esquerda (valores menores que 10).
  • : O limite da função quando se aproxima de 10 vindo da direita (valores maiores que 10).
Vamos calcular cada um deles.
Para próximo a 10 pelo lado esquerdo ( ):
Usamos a função .
Para próximo a 10 pelo lado direito ( ):
Usamos a função .
Substituindo :
Portanto, ambos os limites são iguais a 300.

Passo 3

(b) Calculando o limite T(10) = 2(10) + 280 = 20 + 280 = 300
Esse limite representa a derivada de limx to 10^+ T(x) - 300x - 10 no ponto K(x^2 - 100) + 300 - 300x - 10 = K(x^2 - 100)x - 10 pelo lado direito. Vamos calcular passo a passo.
Primeiro, precisamos saber o valor de K(x - 10)(x + 10)x - 10 = K(x + 10) . Como K(x + 10) está na parte da função K(10 + 10) = K times 20 = 20K :
Agora, substituímos na expressão do limite:
Usando a função para :
Podemos fatorar como :
Agora, podemos cancelar nos numerador e denominador:
Finalmente, substituímos :
Portanto, o limite é .

Passo 4

© Determinando o valor de T'(x) = 2 para que 2 = 20K exista
Para que o limite exista em K = 220 = 110 , os limites pelo lado esquerdo e direito devem ser iguais. Já calculamos no item (a) que ambos os limites de em são 300, garantindo a continuidade.
No item (b), calculamos o limite pelo lado direito como .
Para o limite total existir, a derivada pelo lado esquerdo também deve existir e ser igual a .
Vamos encontrar a derivada pelo lado esquerdo:
A função para é .
A derivada dessa função é:
Portanto, para que a derivada exista e seja contínua em , devemos ter:
Resolvendo para :

Resposta

Para que o limite exista, o valor de deve ser .

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