Calcule os seguintes limites, caso existam:
(30)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comporta a expressão dentro do expoente quando cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do expoente: . Quando é muito grande, o termo dentro da raiz torna-se quase insignificante comparado a . Mas vamos detalhar isso melhor.

Passo 3

A expressão pode ser reescrita assim:
Aqui, fatoramos de dentro da raiz para facilitar a análise quando tende para o infinito.

Passo 4

Agora, vamos usar a expansão da série de Taylor para quando é pequeno. A fórmula é:
No nosso caso, , que realmente fica muito pequeno conforme cresce.

Passo 5

Aplicando a aproximação na nossa expressão:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos calcular com a aproximação que encontramos:
Portanto, o expoente na nossa função exponencial fica aproximadamente para grande.

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite da função exponencial:
Sabemos que quando tende para infinito, tende para zero. Portanto, temos:

Resposta

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Encontre a transformada de Laplace inversa dada usando:
Em um determinado processador, a quantidade de x Gb de dados, com , é processada em segundos. Para uma quantidade Gb , o tempo de processamento é igual a segundos, em que é uma constante positiva. Isso define a função , em que é o tempo de processamento de uma quanti-
dade de dados.
(a) Calcule os limites e
(b) Calcule o limite
© Determine o valor de para que exista.
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(33)
Encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.