Calcule os seguintes limites, caso existam:
(30) lim x infty e^raizx^2-3-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
limx infty e^raizx^2-3-x
Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comporta a expressão dentro do expoente quando cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do expoente: . Quando é muito grande, o termo dentro da raiz torna-se quase insignificante comparado a . Mas vamos detalhar isso melhor.

Passo 3

A expressão raizx^2 - 3 = x cdot raiz1 - 3x^2 pode ser reescrita assim:
Aqui, fatoramos de dentro da raiz para facilitar a análise quando tende para o infinito.

Passo 4

Agora, vamos usar a expansão da série de Taylor para raiz1 - y approx 1 - y2 para y pequeno quando é pequeno. A fórmula é:
No nosso caso, , que realmente fica muito pequeno conforme cresce.

Passo 5

Aplicando a aproximação na nossa expressão:
raiz1 - 3x^2 approx 1 - 32x^2
Então, substituindo de volta:
raizx^2 - 3 approx x (1 - 32x^2) = x - 32x

Passo 6

Agora, vamos calcular raizx^2 - 3 - x approx (x - 32x) - x = -32x com a aproximação que encontramos:
Portanto, o expoente na nossa função exponencial fica aproximadamente para grande.

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite da função exponencial:
limx infty e^-32x
Sabemos que quando e^-32x approx e^0 = 1 tende para infinito, tende para zero. Portanto, temos:

Resposta

limx infty e^raizx^2-3-x = 1

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