Calcule os seguintes limites, caso existam:
(30)
(30)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comporta a expressão dentro do expoente quando
cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do expoente:
. Quando
é muito grande, o termo
dentro da raiz torna-se quase insignificante comparado a
. Mas vamos detalhar isso melhor.
Passo 3
A expressão
pode ser reescrita assim:
Aqui, fatoramos
de dentro da raiz para facilitar a análise quando
tende para o infinito.
Passo 4
Agora, vamos usar a expansão da série de Taylor para
quando
é pequeno. A fórmula é:
No nosso caso,
, que realmente fica muito pequeno conforme
cresce.
Passo 5
Aplicando a aproximação na nossa expressão:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos calcular
com a aproximação que encontramos:
Portanto, o expoente na nossa função exponencial fica aproximadamente
para
grande.
Passo 7
Agora, vamos analisar o limite da função exponencial:
Sabemos que quando
tende para infinito,
tende para zero. Portanto, temos: