Calcule os seguintes limites, caso existam:
(35) lim x -7 3^(x+7) / 5-1x+7

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular o limite:
lim x -7 3^x+75-1x+7
Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente para funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar esse tipo de expressão quando o denominador se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o tipo de limite que temos aqui. Quando se aproxima de -7, o termo se aproxima de 0. Portanto, tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de 0, resultando em uma forma indeterminada do tipo .
Quando encontramos uma forma indeterminada , uma técnica útil é a Regra de L’Hospital, que nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital:
Primeiro, calculamos a derivada do numerador em relação a ddx ( 3^x+75 ) = 3^x+75 cdot ln 3 cdot 15 :
limx -7 3^x+75 cdot ln 3 cdot 151 = 1 cdot ln 3 cdot 151 = ln 35
A derivada do denominador em relação a é simplesmente 1.
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, o limite original se transforma em:

Resposta

O limite é .

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