Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma: 1/4 + 2/4 + 2^(k-1)/4 + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, também temos que calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries, especificamente as séries geométricas, e vamos precisar entender como identificar e analisar esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. Observando os termos, percebemos que cada termo é da forma . Isso pode ser reescrito como . Essa estrutura é característica de uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada de razão da série.

Passo 3

Agora, vamos identificar a razão dessa série geométrica. A razão r é o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar ao próximo. Observando os termos:
  • O primeiro termo ( k=1) é .
  • O segundo termo ( k = 2) é .
  • O terceiro termo ( k = 3) é .
Podemos ver que cada termo é obtido multiplicando o anterior por . Portanto, a razão .

Passo 4

Para saber se uma série geométrica converge ou diverge, usamos o teste da convergência para séries geométricas, que diz:
  • Se : a série converge e a soma pode ser calculada.
  • Se |r| >= 1: a série diverge.
No nosso caso, a razão , que satisfaz . Portanto, segundo o teste, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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