Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também temos que calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries, especificamente as séries geométricas, e vamos precisar entender como identificar e analisar esse tipo de série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. Observando os termos, percebemos que cada termo é da forma
. Isso pode ser reescrito como
. Essa estrutura é característica de uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada de razão da série.
Passo 3
Agora, vamos identificar a razão dessa série geométrica. A razão
é o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar ao próximo. Observando os termos:
- O primeiro termo (
) é . - O segundo termo (
) é . - O terceiro termo (
) é .
Podemos ver que cada termo é obtido multiplicando o anterior por
. Portanto, a razão
.
Passo 4
Para saber se uma série geométrica converge ou diverge, usamos o teste da convergência para séries geométricas, que diz:
- Se
: a série converge e a soma pode ser calculada. - Se
: a série diverge.
No nosso caso, a razão
, que satisfaz
. Portanto, segundo o teste, a série diverge.
Resposta
A série
é divergente.
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Em seu tratado sobre as Configurações de Qualidades e Moções (escrito na década de 1350), o bispo francês de Lisieux, Nicole Oresme, usou um método geométrico para encontrar a soma da série