Calcule os seguintes limites, caso existam:
(37) lim x 0 e^2 x-e^xx

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve o conteúdo de limites, especificamente limites que resultam em uma forma indeterminada do tipo . Para resolver, vamos utilizar a regra de L’Hôpital, que nos ajuda a calcular limites que inicialmente não são óbvios.

Passo 2

Primeiro, verificamos o que acontece quando substituímos e^2(0) - e^00 = 1 - 10 = 00 na expressão:
Essa forma é indeterminada, o que significa que precisamos de uma técnica para resolver esse limite.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se limx to a f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos aplicar essa regra ao nosso limite.

Passo 4

Identificamos f'(x) = ddx(e^2x - e^x) = 2e^2x - e^x e g'(x) = ddx(x) = 1 . Agora, calculamos as derivadas de e :

Passo 5

Aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
limx to 0 2e^2x - e^x1
Simplificamos a expressão:
limx to 0 (2e^2x - e^x)

Passo 6

Agora, substituímos 2e^2(0) - e^0 = 2 cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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