Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique
lim (x, y) (0,0) x y^2x-y^4.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede! Queremos encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro do estudo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta perto de , testando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece ao longo do eixo x, ou seja, quando x cdot 0^2x - 0^4 = 0x = 0 . Substituindo na função:
Então, pelo eixo x, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos pelo eixo y, onde 0 cdot y^20 - y^4 = 0-y^4 = 0 . Substituindo:
Pelo eixo y, o limite também é 0.

Passo 4

Vamos testar um caminho mais geral. Por exemplo, suponha que x cdot (k cdot x^1/4)^2x - (k cdot x^1/4)^4 = x cdot k^2 cdot x^1/2x - k^4 cdot x = k^2 cdot x^3/2x(1 - k^4) = k^2 cdot raizx1 - k^4 , onde é uma constante. Substituindo na função:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então o limite pelo caminho é 0.

Passo 5

Vamos tentar outro caminho diferente, por exemplo, (y^4 + y^5) cdot y^2y^4 + y^5 - y^4 = y^6 + y^7y^5 = y + y^2 . Substituindo na função:
Quando se aproxima de 0, tanto quanto se aproximam de 0, então o limite por esse caminho também é 0.

Resposta

O limite é 0.

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