Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equaçã de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
satisfaz a Equação de Laplace. A Equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em várias áreas, como física e engenharia, e basicamente diz que a soma das segundas derivadas parciais de uma função em relação a suas variáveis é igual a zero. Para verificar isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas de
em relação a
e
e somá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Laplace. Em duas variáveis, ela é escrita como:
Isso significa que precisamos encontrar as segundas derivadas de
em relação a
e
, e então ver se a soma delas é zero.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
Vamos agora calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 6
E, em seguida, a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 7
Agora, somamos as segundas derivadas que calculamos:
Resposta
Como a soma das segundas derivadas é igual a zero, mostramos que
satisfaz a Equação de Laplace.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equaçã de Laplace.
Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique
.
O valor de
é
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )