Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equaçã de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função satisfaz a Equação de Laplace. A Equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em várias áreas, como física e engenharia, e basicamente diz que a soma das segundas derivadas parciais de uma função em relação a suas variáveis é igual a zero. Para verificar isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação a e e somá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Laplace. Em duas variáveis, ela é escrita como:
Isso significa que precisamos encontrar as segundas derivadas de em relação a e , e então ver se a soma delas é zero.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Vamos agora calcular a primeira derivada de em relação a :

Passo 6

E, em seguida, a segunda derivada de em relação a :

Passo 7

Agora, somamos as segundas derivadas que calculamos:

Resposta

Como a soma das segundas derivadas é igual a zero, mostramos que satisfaz a Equação de Laplace.

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equaçã de Laplace.
Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique
.
O valor de é
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( )
( )
( )