Seja
Determine todos os pontos em que é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar todos os pontos onde a função é contínua. A função está definida de duas formas: uma para todos os pontos diferentes de e outra para o ponto . Vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se a função é contínua em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Então, para todo ponto onde a função está definida, devemos ter:
Isso significa que não deve haver saltos ou quebras na função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função para :
Essa é uma função racional, ou seja, uma fração de polinômios. A menos que o denominador seja zero, essa função é contínua. Observando o denominador , percebemos que ele s�� é zero quando e , ou seja, no ponto . Portanto, para todos os outros pontos , a função é contínua.

Passo 4

O único ponto que precisamos verificar é , já que é onde o denominador se anula e a função é definida de forma diferente. Vamos verificar a continuidade nesse ponto. Queremos ver se:
Para calcular o limite, podemos usar coordenadas polares, onde e , com . Substituindo na função:
À medida que , para qualquer valor de .

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de é igual a , concluímos que a função é contínua nesse ponto também.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano.

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O valor de é
( )
( )
( )
( )
( )
Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique
.
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
O valor de é
( )
( ) 0
( )
( )
( )