Seja
Determine todos os pontos em que
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar todos os pontos onde a função
é contínua. A função está definida de duas formas: uma para todos os pontos
diferentes de
e outra para o ponto
. Vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se a função é contínua em diferentes pontos do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Então, para todo ponto
onde a função está definida, devemos ter:
Isso significa que não deve haver saltos ou quebras na função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
para
:
Essa é uma função racional, ou seja, uma fração de polinômios. A menos que o denominador seja zero, essa função é contínua. Observando o denominador
, percebemos que ele s�� é zero quando
e
, ou seja, no ponto
. Portanto, para todos os outros pontos
, a função é contínua.
Passo 4
O único ponto que precisamos verificar é
, já que é onde o denominador se anula e a função é definida de forma diferente. Vamos verificar a continuidade nesse ponto. Queremos ver se:
Para calcular o limite, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, com
. Substituindo na função:
À medida que
,
para qualquer valor de
.
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, concluímos que a função é contínua nesse ponto também.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos
do plano.
Exercícios relacionados
O valor de
é
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique
.
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
O valor de
é
( )
( ) 0
( )
( )
( )
( )
( ) 0
( )
( )
( )