Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações de recorrência lineares homogêneas, especificamente de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da nossa equação de diferença. Para uma equação geral:
A equação característica é:
No nosso caso, temos:
Então, os coeficientes são e . Substituindo na equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes serão complexas e podem ser escritas na forma:
Vamos calcular:
Então, as raízes são:

Passo 4

Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação de diferença é dada por:
Mas podemos reescrever isso usando funções trigonométricas para simplificar. A fórmula fica:
Onde:
  • e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
No nosso caso, e . Calculando e :

Passo 5

Substituindo e na solução geral, temos:
Como é uma constante, podemos simplificar a expressão mantendo e como constantes arbitrárias. Portanto, a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique
.