Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações de recorrência lineares homogêneas, especificamente de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da nossa equação de diferença. Para uma equação geral:
A equação característica é:
No nosso caso, temos:
Então, os coeficientes são
e
. Substituindo na equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão complexas e podem ser escritas na forma:
Vamos calcular:
Então, as raízes são:
Passo 4
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Mas podemos reescrever isso usando funções trigonométricas para simplificar. A fórmula fica:
Onde:
-
-
-
e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
No nosso caso,
e
. Calculando
e
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Como
é uma constante, podemos simplificar a expressão mantendo
e
como constantes arbitrárias. Portanto, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação de diferença
é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
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Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique
.