O valor de integral1^4 raizx ln x d x é
( ) 18 ln 2+143
( ) 163 ln 3-17
( ) 78 ln 3+149
( ) 323 ln 2-289
( ) 12 ln 2+3 ln 3+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de raizx ln x de 1 a 4. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções logarítmicas e raízes, e vamos precisar usar o método de integração por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, vamos calcular e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^1/2 ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x cdot 23 x^3/2 - integral 23 x^3/2 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a integral restante:
= 23 x^3/2 ln x - 23 integral x^1/2 , dx
Calculando a nova integral:
integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2
Portanto:
= 23 x^3/2 ln x - 23 cdot 23 x^3/2 + C
= 23 x^3/2 ln x - 49 x^3/2 + C

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da integral definida de 1 a 4:
[ 23 x^3/2 ln x - 49 x^3/2 ]1^4
Vamos calcular para = 23 cdot 4^3/2 ln 4 - 49 cdot 4^3/2 e = 23 cdot 8 ln 4 - 49 cdot 8 :
Para = 163 ln 4 - 329 :
= 23 cdot 1^3/2 ln 1 - 49 cdot 1^3/2
= 0 - 49
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores:
( 163 ln 4 - 329 ) - ( -49 ) = 163 ln 4 - 289
Agora, simplificamos ln 4 = ln 2^2 = 2 ln 2 usando propriedades dos logaritmos:
= 163 cdot 2 ln 2 - 289 = 323 ln 2 - 289
Substituindo na expressão:

Resposta

A resposta é 323 ln 2-289.

Exercícios relacionados